Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: july04 » 19 cze 2018, o 20:13

Mam pytanie odnośnie takiego algorytmu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{99\cdot 100}= \frac{99}{100}}\)

ponieważ:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\) itd. ostatecznie całość \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{100}= \frac{99}{100}}\)

Jaki algorytm zastosować dla innych tego typu wyrażeń np:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 8}...\frac{1}{98\cdot 100}+\frac{1}{100\cdot 102}=...}\)

Zadanie jest z podręcznika do 1 klasy liceum, ale trudno mi po ponad 15 latach bez matematyki wydedukować tzw. ogólnej zasady i tego kiedy mogę z niej korzystać. Rozumiem, ze tego typu skończone ciągi ułamków mogą być obliczane dość łatwo i o ile 1 przykład jest intuicyjny ten drugi już nie.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2018, o 00:54 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Tytuł tematu rozpoczynaj od wielkiej litery. Poprawa wiadomości: polskie litery, wielkie litery, błędne wyrazy.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2879 razy

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: kerajs » 19 cze 2018, o 20:29

\(\displaystyle{ \frac{1}{4\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 8}+...+\frac{1}{98\cdot 100}+\frac{1}{100\cdot 102}=\\ = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{4\cdot 6}+\frac{2}{6\cdot 8}+...+\frac{2}{98\cdot 100}+\frac{2}{100\cdot 102}\right) =\\ = \frac{1}{2} \left( \frac{6-4}{4\cdot 6}+\frac{8-6}{6\cdot 8}+...+\frac{100-98}{98\cdot 100}+\frac{102-100}{100\cdot 102}\right) =...}\)

july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: july04 » 19 cze 2018, o 20:50

Dziękuję za próbę, ale niestety nie wiem co dalej z tym zrobić i skąd pojawi się wynik \(\displaystyle{ \frac{49}{408}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2879 razy

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: kerajs » 19 cze 2018, o 21:01

\(\displaystyle{ ...= \frac{1}{2}\left( \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) +\left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8}\right) +...+\left( \frac{1}{98} - \frac{1}{100}\right) +\left( \frac{1}{100} - \frac{1}{102}\right) \right) =\\ = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{102}\right) =...}\)

july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: july04 » 19 cze 2018, o 21:17

Dziękuję za pomoc.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Dodawanie wielu wyrażeń potęgowych

Post autor: SlotaWoj » 20 cze 2018, o 01:10

july04 pisze:Zadanie jest z podręcznika do 1 klasy liceum, ale trudno mi po ponad 15 latach bez matematyki ...
To Ty w wieku 4. lat skończyłaś edukację matematyczną?

ODPOWIEDZ