Czy powyższa nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych? Jeśli tak, jak ją udowodnić?
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}- \frac{1}{ n^{2} } }-|x| \le \frac{1}{ n^{2} }}\)
Udowodnij nierówność.
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: Udowodnij nierówność.
Ale jest prawdziwa dla wszystkich liczb, dla których jest określona. Wyznaczenie dziedziny pozostawiam Tobie.
Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2}}\)
Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2}}\)