Matematyka.pl

Witam,
Bardzo bym prosil o pewna wskazowke co do zadania, badz rozwiazanie go:

Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa liczbami dodatnimi, takimi, ze \(\displaystyle{ a\geqslant b}\), to:

\(\displaystyle{ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=2\sqrt{b}}\)

Z gory dziekuje za pomoc.

Pamiętając o wzorach skróconego mnożenia, zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)

Analogicznie z minusem, więc:
\(\displaystyle{ L=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}= \\ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=}\)

A korzystając z założeń zadania, tzn że liczby są dodatnie i a nie jest mniejsza od b, to:
\(\displaystyle{ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{b}=P}\)

Matematyka.pl

Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).

Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).

Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).