Witam,
Bardzo bym prosil o pewna wskazowke co do zadania, badz rozwiazanie go:
Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa liczbami dodatnimi, takimi, ze \(\displaystyle{ a\geqslant b}\), to:
\(\displaystyle{ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=2\sqrt{b}}\)
Z gory dziekuje za pomoc.
Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).
Pamiętając o wzorach skróconego mnożenia, zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)
Analogicznie z minusem, więc:
\(\displaystyle{ L=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}= \\ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=}\)
A korzystając z założeń zadania, tzn że liczby są dodatnie i a nie jest mniejsza od b, to:
\(\displaystyle{ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{b}=P}\)
\(\displaystyle{ a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)
Analogicznie z minusem, więc:
\(\displaystyle{ L=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}= \\ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=}\)
A korzystając z założeń zadania, tzn że liczby są dodatnie i a nie jest mniejsza od b, to:
\(\displaystyle{ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{b}=P}\)