Matematyka.pl

Na początku chciałbym przywitać wszystkich na forum - dzień dobry Mam nadzieję, że nie pomylilem działów, jesli tak to przepraszam i proszę o przeniesienie, moją pierwszą prośbą jest rozwiązanie tego zadania, z uzasadnieniem Pozdrawiam
Oblicz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}:}\)

pomnóż każdy z ułamków przez jego sprzężenie (dla a+b sprzężenie to a-b np. dla 4-5 sprzeżenie to 4+5). Wtedy w mianowniku wszędzie będzie -1, a liczniki w wiekszości Ci się uproszczą.

Prosiłem o dokładniejsze wyjaśnienie, na jakiej zasadzie liczniki sie skrócą? chodzi o o to ze w mianowniku wzor skroconego mnozenia wykorzystamy ale wtedy na gorze bede mial dziwne wartosci...

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{1})}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}=\sqrt{2}-\sqrt{1}}\)

Dostrzegasz analogię i wychodzi Ci, że ta suma jest równa:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-\sqrt{1}+\sqrt{100}=-1+10=9}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}+
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}...}\)
w mianowniku zawsze zostaje Ci -1 a w liczniku rużnica więc po podzieleniu zostaje Ci:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{1}+\sqrt{2}}\)
idąc do końca tak, jak to zsumujemy zostaje Ci
\(\displaystyle{ \sqrt{100}-\sqrt{1}=9}\)

Już rozumiem, dzięki wielkie

a jak dochodzicie do tego ze to jest \(\displaystyle{ \sqrt{1} - \sqrt{100}}\)?

[ Dodano: 30 Września 2007, 13:31 ]
z jkaiego wzrou to ? na sumę szeregu ?

No chyba Kolego nie uważałeś, przeczytaj jeszcze raz moje wypowiedzi i Sylwka.
Zadnego wzoru na sume szeregu/ciągu tu nie ma.
a pozatym to nie:\(\displaystyle{ \sqrt{1}-\sqrt{100}}\) a:\(\displaystyle{ \sqrt{100}-\sqrt{1}}\)

no ale na jakiej zasadzie to sumujecie bo napewno nie recznie wszystkie wyrazy ?

[ Dodano: 30 Września 2007, 16:54 ]
a dobra sory za kłopoty dopeiro teraz to zauwazyłem to pewnie to przemęczenie :]