Układ równań z niewiadomymi w mianownikach

[ogioz]

Cześć! Jaka będzie najlepsza strategia w rozwiązaniu takiego układu równań?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{20}{x+y} + \frac{20}{x-y} = 7 \\ \frac{12}{y} = \frac{20}{x+y} + \frac{8}{x-y} \end{cases}}\)

[mortan517]

Może podstawienie \(\displaystyle{ \frac{1}{x+y}=a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x-y}=b}\).

[Rozbitek]

Obie strony w obydwu równaniach razy \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)}\) powinno fajnie działać.

[Premislav]

To ja mam jeszcze trochę inną propozycję: przekształćmy układ do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20\left(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} \right)= 7 \\ 12\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}\right) =8\left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} \right)\end{cases}}\)
Teraz połóżmy \(\displaystyle{ u=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}, \ v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20u=7 \\ v=\frac{2}{3}u \end{cases}}\),
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=\frac{7}{20} \\ v= \frac{7}{30} \end{cases}}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{u}= \frac{1}{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}=\frac{x^2-y^2}{2x}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{u}=x-\frac{y^2}{x}}\)
oraz że \(\displaystyle{ v= \frac{x}{y(x+y)}}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}=\frac{2v}{u}=\frac{x-y}{y}=\frac x y-1}\), tj.
\(\displaystyle{ x=\frac 7 3 y}\). Wstawiając tę zależność do wyjściowego układu, już łatwo otrzymujemy rozwiązanie.-- 14 lut 2018, o 23:21 --Chociaż właściwie chyba to, co zaproponował mortan517, jest trochę szybsze.

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{20}{x+y} + \frac{20}{x-y} = 7 \\ \frac{12}{y} = \frac{20}{x+y} + \frac{8}{x-y} \end{cases}
\\
\begin{cases} \frac{20x - 20y}{1} + \frac{20x + 20y}{1} = 7x^2 - 7y^2 \\ \frac{12x^2 - 12y^2}{y} = \frac{20x - 20y}{1} + \frac{8x+8y}{1} \end{cases}
\\
\begin{cases} 40x = 7x^2 - 7y^2 \\ 7x^2 - 7y^2 = \frac{49}{3}xy - 7y^2 \end{cases}
\\
7x^2 - 7y^2 = \frac{49}{3}xy - 7y^2 \Rightarrow 3x^2 - 7xy = 0 \Leftrightarrow x(3x-7y) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \frac{7}{3}y
\dots}\)

Dobra, przyznaję, nie jest to najprzyjemniejsze...