Wartość wyrażenia

swxu · Post autor: **swxu** » 10 lut 2018, o 16:34

Hej, mam problem z zadaniem, próbuję je robić na różne sposoby i nie mogę dojść do wyniku z odpowiedzi.

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right) ^2 - \left( \frac{1}{5} \right) ^2 }}\)

To wszystko ma być pod jednym pierwiastkiem, ale średnio ogarniam latexa

Wychodzi mi zawsze \(\displaystyle{ \frac{1}{20}}\)

W odpowiedziach są \(\displaystyle{ \frac{3}{20}}\)

Rafsaf · Post autor: **Rafsaf** » 10 lut 2018, o 17:29

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right) ^2- \left( \frac{1}{5} \right) ^2}}\)

Pokaż jak to liczysz, możesz zrezygnować z tego pierwiastka i liczyć tylko to co "w środku" jeśli łatwiej Ci to zapisać

swxu · Post autor: **swxu** » 11 lut 2018, o 02:17

Liczyłem m.in. z zastosowaniem własności wartości bezwzględnej, tj.opuszczenie pierwiastka z zapisaniem "\(\displaystyle{ \frac14-\frac15}\)" z kreskami w.b. (nie przerabiałem jeszcze w.b. więc mogłem coś pomylić)

Wspólny mianownik to \(\displaystyle{ 20}\), więc wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}}\).

Pozwoliłem sobie zapisać ułamki z ukośnikami, ponieważ podobno tak też można a to znacznie szybciej niż z lateksem, od razu więc zadam pytanie - czy rzeczywiście tak można?

Zadanie może jest proste, ale na 30 przerobionych zadań do tej pory ze zbioru Gwizdaka akurat to sprawiło mi na tyle duży problem, że zdecydowałem się napisać z prośbą o pomoc.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 lut 2018, o 05:09

Spróbuj do tego "wzoru"
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-b^2}=a-b}\)
wstawić parę konkretnych wartości. Co dostrzegasz?

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2018, o 06:56

Różnica kwadratów pod znakiem pierwiastka drugiego stopnia przypomina wzór skróconego mnożenia, a ten warto zastosować (nie wyprowadzając wyrażenia spod pierwiastka) bo nie na darmo nazywa się "skróconym".
A po jego zastosowaniu można zauważyć, że zarówno licznik jak i mianownik są kwadratami innych liczb, a to już sugeruje, podpowiada, że .....

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lut 2018, o 02:04

Skąd ten wspólny mianownik?

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{16} - \frac{1}{25}}= \sqrt{ \frac{25}{400} - \frac{16}{400}}=...}\)
i wyjdzie jak w odpowiedziach.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 12 lut 2018, o 03:29

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right) ^2 - \left( \frac{1}{5} \right) ^2 }= \sqrt{\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{5} \right) }= \sqrt{ \frac{5-4}{20} \cdot \frac{5+4}{20} }= \sqrt{ \frac{1}{2 0} \cdot \frac{9}{20} } = \sqrt{ \frac{9}{20^2} } = \frac{ \sqrt{9} }{ \sqrt{20^2} } = \frac{ 3}{ 20}}\)

Edit. Po uwadze Elayne poprawiłem usuwając wyraz ze znakiem \(\displaystyle{ \pm}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 lut 2018, o 08:33

anna_ pisze:Skąd ten wspólny mianownik?

Z tego, że autor uważał, iż

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right) ^2 - \left( \frac{1}{5} \right) ^2 }= \frac{1}{4} - \frac{1}{5}}\)...

Przekonanie, że wszystkie funkcje (kwadratowa, pierwiastek, sinus, logarytm itd.) są liniowe jest silnie rozpowszechnione (wystarczy pooglądać trochę prac maturalnych). Zawsze mnie zastanawiało, dlaczego tak jest...

JK

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 12 lut 2018, o 08:55

Ciekawi mnie jak wiele osób z pośród legitymujących i obnoszących się z "naukowym dyplomem magistra" potrafi objaśnić potrzebę, czyli powód, posiadania wspólnego mianownika dodawanych ułamków?
W.Kr.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lut 2018, o 10:04

Jan Kraszewski pisze:
anna_ pisze:Skąd ten wspólny mianownik?
Z tego, że autor uważał, iż

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{1}{4} \right) ^2 - \left( \frac{1}{5} \right) ^2 }= \frac{1}{4} - \frac{1}{5}}\)...

Przekonanie, że wszystkie funkcje (pierwiastek, sinus, logarytm itd.) są liniowe jest silnie rozpowszechnione (wystarczy pooglądać trochę prac maturalnych). Zawsze mnie zastanawiało, dlaczego tak jest...

JK

Dziwne, że tego nie wiesz.

To bezpośredni wniosek z twierdzenia, że przez trzy punkty przechodzi prosta (odpowiednio gruba)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 lut 2018, o 12:17

a4karo pisze:Dziwne, że tego nie wiesz.

To bezpośredni wniosek z twierdzenia, że przez trzy punkty przechodzi prosta (odpowiednio gruba)

Dziwi mnie popularność tego zjawiska. Może ma to jakieś podłoże psychologiczne?

JK

Elayne · Post autor: **Elayne** » 12 lut 2018, o 13:51

Na jednej ze stron internetowych [matematycznych] jest coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2}=|3+\sqrt{2}|=3+\sqrt{2}}\)
poprawny wynik to: \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\)

Może przyczyna po części leży w sposobie nauczania.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lut 2018, o 14:13

Jan Kraszewski pisze: Dziwi mnie popularność tego zjawiska. Może ma to jakieś podłoże psychologiczne?

JK

Myślę, że dążenie do prostoty jest naturalne i w chwilach dużego stresu może przyćmić zdrowy rozsądek. Innym wyjaśnieniem jest pomroczność matematyczna lub działanie na zasadzie: jak nie wiem co zrobić, to zrobię coś.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 12 lut 2018, o 14:27

Stąd wniosek , że pytanie o pierwiastek z wyrażenia czy liczby pod pierwiastkiem jest zawsze pytaniem o pierwiastek arytmetyczny z tego wyrażenia.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lut 2018, o 15:49

Symbol \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) oznacza funkcję, która nieujemnej liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) przyporządkowują taką nieujemną liczbę \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ y^2=x}\).

Matematyka.pl