Średnia geometryczna z liczb ujemnych?

[psi]

Cześć!
Dlaczego średnia geometryczna jest zdefiniowana jako średnia z liczb dodatnich? Rozumiem gdy są to liczby np. \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 2}\) ale co z przypadkiem np. \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ -2}\)?

[Marcinek665]

Obliczyć sobie ją możesz, ale średnia geometryczna liczb ujemnych ma na tyle mało własności, że definiuje się ją dla spokoju dla liczb dodatnich. Jeśli weźmiesz ją dla liczb ujemnych to to niby coś tam wyjdzie, ale nie będzie to spełniało np. nierówności między średnimi, dla średniej geometrycznej nieparzystej liczby liczb niby można byłoby definiować tę średnią dla dowolnych liczb, a nie tylko dla takich, że ich iloczyn jest dodatni itd. Te komplikacje sprawiają, że wygodniej jest po prostu stwierdzić, że średnią geometryczną określamy tylko dla liczb dodatnich.

[szw1710]

No i zastosowania są właśnie dla liczb dodatnich. Np. w matematyce finansowej czy gdy liczy się tzw. średnie tempo zmian.

[psi]

Wielkie dzięki za błyskawiczną odpowiedź. Nigdzie nie mogłem tego znaleźć na szybko.

[szw1710]

Mamy \(\displaystyle{ a,b<0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ G(a,b)=\sqrt{ab}}\) ma sens, ale stracimy podstawową własność średniej. Otoż jeśli \(\displaystyle{ M(x,y)}\) jest jakąkolwiek średnią, to \(\displaystyle{ \min\{x,y\}\le M(x,y)\le\max\{x,y\}.}\) Dlatego trzeba by wtedy określić \(\displaystyle{ G(a,b)=-\sqrt{ab}.}\) Wszystko staje się bardzo nienaturalne.