Przekształcenie iloczynu

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

Przekształcenie iloczynu

Post autor: Karolina93 » 22 sty 2018, o 21:34

Hej Mam problem, mianowicie nie wiem w jaki sposób wynika poniższa równość? Skąd wzięła się ta 3 przed nawiasem i dlaczego zmienił się wzór iloczynu? Czy ktoś mógłby mi pomóc to wyjaśnić, lub napisać jakie przekształcenia wykonano?

\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2001} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=3\left[\prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^{2}}\right] \cdot \frac{1}{2001^{2}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17708
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2987 razy

Re: Przekształcenie iloczynu

Post autor: a4karo » 22 sty 2018, o 22:03

LIcznik lewej strony to
\(\displaystyle{ 1\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot5\cdot 4\cdot 6\dots1999\cdot2001\cdot 2000\cdot 2002}\).

A prawej???

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14637
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 4816 razy

Re: Przekształcenie iloczynu

Post autor: Premislav » 22 sty 2018, o 22:17

Nietrudno udowodnić indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n>2}\),
bo ten iloczyn się w prosty sposób teleskopuje (można popatrzeć na iloczyn trzech kolejnych czynników).
Poza tym \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{k(k+2)}{k^2}}\) to jest z dokładnością do jakiegoś czynnika iloraz silni podwójnych, np. \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{(2002)!!}{(2000)!!}=1001}\)
Ale pomysł a4karo jest prostszy.

ODPOWIEDZ