Matematyka.pl

Mam udowodnić, że dla liczb a, b, c należących do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle0;\right1\rangle}\)
spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ (a+b+c+2) ^{2} \ge 7(a ^{2008}+b ^{2008}+c ^{2008})}\)
Próbuje "wgryźć" się w zadania tego typu, ale jakoś mi nie wychodzi. Mile widziane sugestie odnośnie źródeł i zakresu materiału do zadań tego typu.

\(\displaystyle{ (a+b+c+2)^2=(a+b+c)^2+4(a+b+c)+4 \ge 8(a+b+c)\ge \\ \ge 7(a+b+c)\ge 7(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008})}\)
Pierwsze przejście to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, drugie przejście to znana nierówność
\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 2xy}\) dla \(\displaystyle{ x=a+b+c}\) i \(\displaystyle{ y=2}\), trzecie przejście wynika z tego, że \(\displaystyle{ a+b+c\ge 0}\), bo liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieujemne, a ostatnie przejście wynika stąd, że dla \(\displaystyle{ a\in [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ a^2\ge a^{2008}}\) itd.

-- 21 sty 2018, o 20:26 --

Co do materiałów, Mitrinovic (Elementary Inequalities), Hung (Secrets in Inequalities), artykuły z Delty, Kółko matematyczne dla olimpijczyków Pawłowskiego (tyle z grubsza znam), a jak to za trudne na początek, to materiały z czasopisma OMJ, „Kwadrat", które jest za darmo dostępne w necie. Jest też często polecana kiedyś na forum książka Wędrówki po krainie nierówności Lwa Kurlandczyka, ale ja jej nie znam.

Dzięki wielkie. Nie ma pojęcia, jak Ty to wszystko widzisz. Ja się męczę nad tym zadaniem, próbuje tu jakoś sensownie grupować, przyrównywać i nic nie wychodzi. Ty chwila i wszystko zrobione, w dodatku operując tylko na elementarnych przekształceniach. Jeszcze wiele pracy przede mną.

Nie ma pojęcia, jak Ty to wszystko widzisz

W moim przypadku jest to tylko i wyłącznie kwestia treningu. Oczywiście, zdarzają się też osoby wybitnie zdolne, ale ja do nich nie należę (jak i ogromna większość ludzi), a poza tym i one niewiele by zdziałały bez odpowiednio efektywnej i cierpliwej pracy. Nie zniechęcaj się, życzę owocnej nauki.