Udowodnij nierówność

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij nierówność

Post autor: 85213 » 21 sty 2018, o 20:08

Mam udowodnić, że dla liczb a, b, c należących do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle0;\right1\rangle}\)
spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ (a+b+c+2) ^{2} \ge 7(a ^{2008}+b ^{2008}+c ^{2008})}\)
Próbuje "wgryźć" się w zadania tego typu, ale jakoś mi nie wychodzi. Mile widziane sugestie odnośnie źródeł i zakresu materiału do zadań tego typu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14480
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 4764 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: Premislav » 21 sty 2018, o 20:22

\(\displaystyle{ (a+b+c+2)^2=(a+b+c)^2+4(a+b+c)+4 \ge 8(a+b+c)\ge \\ \ge 7(a+b+c)\ge 7(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008})}\)
Pierwsze przejście to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, drugie przejście to znana nierówność
\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 2xy}\) dla \(\displaystyle{ x=a+b+c}\) i \(\displaystyle{ y=2}\), trzecie przejście wynika z tego, że \(\displaystyle{ a+b+c\ge 0}\), bo liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nieujemne, a ostatnie przejście wynika stąd, że dla \(\displaystyle{ a\in [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ a^2\ge a^{2008}}\) itd.

-- 21 sty 2018, o 20:26 --

Co do materiałów, Mitrinovic (Elementary Inequalities), Hung (Secrets in Inequalities), artykuły z Delty, Kółko matematyczne dla olimpijczyków Pawłowskiego (tyle z grubsza znam), a jak to za trudne na początek, to materiały z czasopisma OMJ, „Kwadrat", które jest za darmo dostępne w necie. Jest też często polecana kiedyś na forum książka Wędrówki po krainie nierówności Lwa Kurlandczyka, ale ja jej nie znam.

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij nierówność

Post autor: 85213 » 21 sty 2018, o 20:33

Dzięki wielkie. Nie ma pojęcia, jak Ty to wszystko widzisz. Ja się męczę nad tym zadaniem, próbuje tu jakoś sensownie grupować, przyrównywać i nic nie wychodzi. Ty chwila i wszystko zrobione, w dodatku operując tylko na elementarnych przekształceniach. Jeszcze wiele pracy przede mną.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14480
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 4764 razy

Re: Udowodnij nierówność

Post autor: Premislav » 21 sty 2018, o 20:41

Nie ma pojęcia, jak Ty to wszystko widzisz
W moim przypadku jest to tylko i wyłącznie kwestia treningu. Oczywiście, zdarzają się też osoby wybitnie zdolne, ale ja do nich nie należę (jak i ogromna większość ludzi), a poza tym i one niewiele by zdziałały bez odpowiednio efektywnej i cierpliwej pracy. Nie zniechęcaj się, życzę owocnej nauki.

ODPOWIEDZ