Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,...,x_n}\)dowolne liczby rzeczwiste. Wykaż że
\(\displaystyle{ (x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3)^{1/3} \le (x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2)^{1/2}}\)

Lewa strona się nie zmniejszy, a prawa zostanie bez zmian, gdy weźmiemy wartości bezwzględne każdej zmiennej, tzn. wystarczy udowodnić tę nierówność w dodatnich. W przypadku, gdy którakolwiek zmienna jest zerowa, po prostu redukuje się liczba zmiennych i nic tu się nie psuje. Wystarczy skorzystać z faktu, że gdy \(\displaystyle{ t\le 1,\ n\ge 1}\), wówczas \(\displaystyle{ t^n\le t}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}\right)^{3/2}\le\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}=1\iff\sum_{i=1}^n x_i^3\le\left({\sum_{i=1}^n x_i^2}\right)^{3/2}}\)

W przypadku wszystkich zmiennych równych jeden nierówność staje się równością. Tak samo jest w przypadku trywialnym, gdy wszystkie zmienne są zerami.

EDIT: Oczywiście, uogólnienie jest naturalne i natychmiastowe.

EDIT2: Ależ bzdur naopowiadałam, przecież równość z więcej niż jedną jedynką nie zachodzi. Dla nie wszystkich iksów równych zero musimy mieć dokładnie jedną jedynkę, a resztę zer.
Czasem przydałyby się działające tagi [s][/s].