Matematyka.pl

Wykaż, że a dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n}\) i dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\)
zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{ a^{n} } + \frac{1}{ b^{n} }+ \frac{1}{ c^{n} }= \frac{1}{ a^{n}+ b^{n}+ c^{n} }}\)

Wsk. spróbuj pokazać, że z równości po lewej stronie wynika, że dwie spośród liczb są liczbami przeciwnymi.

Jak ktoś nie lubi takich ułamków (np. ja), to można dla wygody położyć \(\displaystyle{ x=\frac 1 a, \ y=\frac 1 b, \ z=\frac 1 c}\) i założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x+y+z= \frac{xyz}{xy+yz+zx}}\), a stąd
(*) \(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz}\), zaś teza wówczas przyjmuje formę:
dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego, przy powyższym założeniu (*), jest
\(\displaystyle{ (x^n+y^n+z^n)((xy)^n+(yz)^n+(zx)^n)=(xyz)^n}\)

I tutaj może się przydać taka tożsamość:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\)