Matematyka.pl

Cześć wszystkim!
Mam raczej dość prosty problem, co raczej sprzyja tylko mojemu zdenerwowaniu. Otóż:
wg wolframa i moich podstawień poprawnym rozwiązaniem nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{-a-\sqrt{a^2-4a}}{a}<0}\)
jest \(\displaystyle{ a \ge 4}\)

Ja próbowałam rozwiązać to tak:
zamian na iloczyn:
\(\displaystyle{ a(-a-\sqrt{a^2-4a})<0}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ D=(- infty,0] cup [4,+ infty )}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-4a}=-a}\)

Dla \(\displaystyle{ 0 \ge a}\)
obie strony równania są dodatnie, więc mogę podnieść do kwadratu obie z nich
\(\displaystyle{ a^2-4a=a^2}\)
i tutaj rozwiazaniem jest \(\displaystyle{ a=0}\)

Dla \(\displaystyle{ 4 \le a}\)
Jedna strona równania jest dodatnia, a druga ujemna - brak rozw.

Wynika stąd, że 0 jest podwójnym pierwiastkiem, więc (biorąc pod uwagę dziedzinę) rozwiązaniem nierówności jest \(\displaystyle{ a in (- infty ,0) cup [4,+ infty )}\)

Gdzie błąd?

Zauważ że wyjściowa postać nierówności zawiera w mianowniku \(\displaystyle{ \, a \,}\), które nie jest uwzględnione w dziedzinie.

W takim razie dziedzina to \(\displaystyle{ D=(- infty ,0) cup [4,+ infty )}\). W moim rozwiązaniu jednak to za dużo nie zmienia - coś nadal musi być nie tak.

astenna pisze:\(\displaystyle{ a(-a-\sqrt{a^2-4a})<0}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ D=(- infty,0] cup [4,+ infty )}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-4a}=-a}\)

Ale co to jest? Była nierówność, a tu nagle równanie.

Rozwiązujesz jakieś inne zadanie. Wystarczy istotnie sprawdzić dwa przypadki: \(\displaystyle{ a<0}\) i \(\displaystyle{ a\ge 4}\), ale w odniesieniu do nierówności, a nie do równania.

JK

Wolfram podał tylko jeden z przedziałów rozwiązań nierówności- przedział prawostronny \(\displaystyle{ a\geq 4}\)

Istnieje jeszcze jedno rozwiązanie - przedział lewostronny \(\displaystyle{ a <0.}\)

\(\displaystyle{ Assuming[a<0]}\)


Po uwagach florka 177 i Pana Kraszewskiego - dojdź do tych dwóch rozwiązań

Zamotałam sie w tych "uproszczeniach" rozwiązałam wszystko w nierównościach i jest dobrze.
Aż wstyd nie umieć takich podstaw!
Dziękuję!