Znajdź dodatnie x,y,z spełniające równanie:
\(\displaystyle{ x \sqrt{1- y^{2} } + y \sqrt{2- z^{2} } + z \sqrt{3- x^{2} } = 3}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Suma trzech pierwiastków
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Suma trzech pierwiastków
Z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+(1-y^2)}{2} \ge x\sqrt{1-y^2}\\ \frac{y^2+(2-z^2)}{2} \ge y\sqrt{2-z^2}\\ \frac{z^2+(3-x^2)}{2} \ge z\sqrt{3-x^2}}\)
i dodając te trzy nierówności stronami, mamy
\(\displaystyle{ 3\ge x \sqrt{1- y^{2} } + y \sqrt{2- z^{2} } + z \sqrt{3- x^{2} } = 3}\),
więc musi być przypadek równości w nierówności między średnimi, tj.
\(\displaystyle{ x^2=1-y^2 \wedge y^2=2-z^2\wedge z^2=3-x^2}\)
A z tym już sobie powinnaś poradzić.-- 22 paź 2017, o 22:51 --Aha, nie zapomnij tylko o dziedzinie, pod pierwiastkami kwadratowymi oczywiście muszą być liczby nieujemne.
\(\displaystyle{ \frac{x^2+(1-y^2)}{2} \ge x\sqrt{1-y^2}\\ \frac{y^2+(2-z^2)}{2} \ge y\sqrt{2-z^2}\\ \frac{z^2+(3-x^2)}{2} \ge z\sqrt{3-x^2}}\)
i dodając te trzy nierówności stronami, mamy
\(\displaystyle{ 3\ge x \sqrt{1- y^{2} } + y \sqrt{2- z^{2} } + z \sqrt{3- x^{2} } = 3}\),
więc musi być przypadek równości w nierówności między średnimi, tj.
\(\displaystyle{ x^2=1-y^2 \wedge y^2=2-z^2\wedge z^2=3-x^2}\)
A z tym już sobie powinnaś poradzić.-- 22 paź 2017, o 22:51 --Aha, nie zapomnij tylko o dziedzinie, pod pierwiastkami kwadratowymi oczywiście muszą być liczby nieujemne.