Matematyka.pl

Jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to liczby dodatnie naturalne oraz \(\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{c}{d}}\) , porównaj liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d}}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne ?

\(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right) \in N}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( a+c\right) }{\left( b+d\right) } \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c + c^{2} }{b \cdot d + d ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} < \frac{a \cdot c + c^{2} }{b \cdot d + d^{2} }}\)

To nie jest rozwiązanie, więc nie można powiedzieć "czy poprawne". Nie uzasadniasz w żaden sposób tego, co piszesz (chodzi mi o te ostatnią nierówność).

Ja mam taką propozycję:
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}= \frac{ab+bc-ab-ad}{b^2+bd}= \frac{bc-ad}{b^2+bd}= \frac{bd}{b^2+bd}\left( \frac c d -\frac a b\right)}\)
Z założeń mamy \(\displaystyle{ b,d>0}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{bd}{b^2+bd}>0}\), a także
\(\displaystyle{ \frac{c}{d} -\frac a b>0}\), zatem mamy

\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b}>0}\),
czyli \(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b}}\)
przy założeniach zadania.

Można też od razu z założenia
\(\displaystyle{ \frac{c}{d}> \frac{a}{b} \\ \\
\frac{ad}{b} <c \\ \\
\frac{ad}{b}+a <a+c \\
\frac{a(b+d)}{b} <a+c \\ \\
\frac{a(b+d)}{b(b+d)}< \frac{a+c}{b+d}}\)

Dziękuję bardzo