Suma dwóch pierwiastków

[Trocinek]

Wykaż, że

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+\sqrt{1445}} - \sqrt[3]{\sqrt{1445} - 38} = 4.}\)

Wydaje mi się, że należałoby rozpisać jedno i drugie wyrażenie najpierw osobno i oddzielnie je wyliczyć z zastosowaniem wzoru skr. mnożenia w 3 potędze \(\displaystyle{ \left( a +b\right)^{3}}\) problem w tym że średnio wiem jak zacząć

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ 38+ \sqrt{1445} =38+17 \sqrt{5}}\)
Próbujemy to złożyć do \(\displaystyle{ \left( a +b\right)^{3}=a ^{3}+3a ^{2} b+3ab ^{2} +b ^{3}}\)
W najbardziej oczekiwanej postaci czynnik \(\displaystyle{ b}\) będzie pierwiastkiem z jakiejś liczby całkowitej.Biorąc pod
uwagę, że już wyżej pojawił się \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to najpierw trzeba by z tym spróbować.
\(\displaystyle{ (a+ \sqrt{5} ) ^{3} =38+17 \sqrt{5} =a ^{3}+3a ^{2} b+3ab ^{2} +b ^{3}}\)
policz czynnik \(\displaystyle{ b ^{3}}\) i dopasuj do niego czynnik \(\displaystyle{ 3a ^{2}b}\)

I coś powinno z tego wyjść

[Premislav]

Oznaczmy \(\displaystyle{ a^3=38+\sqrt{1445}}\), wówczas \(\displaystyle{ \frac{1}{a^3}=\sqrt{1445}-38}\)
a teza przyjmuje formę
\(\displaystyle{ a-\frac 1 a=4}\), stąd można wyliczyć, że aby teza była prawdziwa, potrzeba i wystarcza
\(\displaystyle{ a=\sqrt{5}+2}\) (bo oczywiście \(\displaystyle{ a>0}\)). Zatem wystarczy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{5}+2\right)^3=\sqrt{1445}+38}\)
a to można zrobić ze wzoru na sześcian sumy+grupując.

[anna_]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{38+\sqrt{1445}} - \sqrt[3]{\sqrt{1445} - 38} = 4}\)
============================
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{\sqrt {1445}+38}-\sqrt[3]{\sqrt {1445}-38}}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{\sqrt {1445}+38}}\)

\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{\sqrt {1445}-38}}\)

\(\displaystyle{ x=a-b}\)
--------------------------
\(\displaystyle{ a^3-b^3=\left(\sqrt[3]{\sqrt {1445}+38}\right) ^3-\left(\sqrt[3]{\sqrt {1445}-38}\right) ^3=}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1445}+38-\sqrt{ 1445}+38=76}\)


\(\displaystyle{ ab=\sqrt[3]{\sqrt { 1445}+38}\cdot \sqrt[3]{\sqrt { 1445}-38}=}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(\sqrt { 1445}+38)(\sqrt { 1445}-38)}= \sqrt[3]{1445-1444}= \sqrt[3]{1}=1}\)
--------------------------
\(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^3=76-3\cdot 1(a-b)}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^3=76-3(a-b)}\)

Podstawiamy:
\(\displaystyle{ x=a-b}\)

\(\displaystyle{ x^3=76-3x}\)

\(\displaystyle{ x^3+3x-76=0}\)

\(\displaystyle{ x^3-64+3x-12=0}\)

\(\displaystyle{ (x-4)(x^2+4x+16)+3(x-4)=0}\)

\(\displaystyle{ (x-4)(x^2+4x+16+3)=0}\)

\(\displaystyle{ (x-4)(x^2+4x+19)=0}\)

\(\displaystyle{ x-4=0 \Rightarrow x=4}\)

lub

\(\displaystyle{ x^2+4x+19=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4^2-4\cdot 4\cdot 19=16-304=-288<0}\)
==================
Dla ścisłości to była różnica pierwiastków, a nie suma.