nierwność z a,b

[alfred0]

Pokaż ze \(\displaystyle{ \frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}\geq\frac{1}{2}+\frac{1}{ab(1+ab)}}\) dla \(\displaystyle{ a\geq 1,0< b\leq1}\).

[bosa_Nike]

Hej, to wychodzi właściwie wszystko na jednym chwycie: \(\displaystyle{ (a-1)(1-b)\ge 0\iff a+b\ge ab+1}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{2\left(a^2+b^2+a+b\right)}{2ab(a+1)(b+1)}\ge\frac{ab(ab+1)+2}{2ab(ab+1)}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ (a+1)(b+1)=(ab+1)+(a+b)\le 2(a+b)}\), to pozostaje:

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2-2ab+(a+b)}{a+b}\ge ab+\frac{2}{ab+1}}\)

Albo inaczej:

\(\displaystyle{ a+b+1\ge ab+\frac{2}{ab+1}+\frac{2ab}{a+b}}\)

Powyższa nierówność jest prawdziwa, bo:

\(\displaystyle{ ab+\frac{2}{ab+1}+\frac{2ab}{a+b}\le ab+\frac{2}{ab+1}+\frac{2ab}{ab+1}=ab+2\le a+b+1}\)

Równość dla \(\displaystyle{ a=1}\) lub \(\displaystyle{ b=1}\).

EDIT: Zwiększyłam(?) jasność przekazu.