Matematyka.pl

Zbadaj, czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } }}\) jest mniejsza od 3. Odpowiedź dokładnie uzasadnij.

Wskazówka. Niech x = nasza liczba, wtedy

\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{3+x}}}\)

Przekształciłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{2}=5+ \sqrt{3+x}}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{2}-x+22=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-6x+11=0}\)
Nie mam dalej pomysłu

EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?

\(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } } <\sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+...} } } }}\)

I łatwo pokazać indukcyjnie że ta druga liczba jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ \sqrt{5+3}<3}\).

jabol97 pisze: EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?

Gdybyś robił niezbędne założenia to wiedziałbyś że 2 jest tu błędną liczbą (nie należącą do dziedziny uzyskanego wyrażenia) więc i wnioski z jej wstawienia niczego nie dowodzą. Należy sprawdzić wartość wyrażenia od liczby nie mniejszej niż \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).

Założenie: \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ x^4-10x^2-x+22 = 0}\)
Teza: \(\displaystyle{ x<3}\)
Dowód: