Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

[jabol97]

Zbadaj, czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } }}\) jest mniejsza od 3. Odpowiedź dokładnie uzasadnij.

[Justka]

Wskazówka. Niech x = nasza liczba, wtedy

\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{3+x}}}\)

[jabol97]

Przekształciłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{2}=5+ \sqrt{3+x}}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{2}-x+22=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-6x+11=0}\)
Nie mam dalej pomysłu

EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } } <\sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+...} } } }}\)

I łatwo pokazać indukcyjnie że ta druga liczba jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ \sqrt{5+3}<3}\).

[kerajs]

EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?

Gdybyś robił niezbędne założenia to wiedziałbyś że 2 jest tu błędną liczbą (nie należącą do dziedziny uzyskanego wyrażenia) więc i wnioski z jej wstawienia niczego nie dowodzą. Należy sprawdzić wartość wyrażenia od liczby nie mniejszej niż \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).

[PoweredDragon]

Założenie: \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ x^4-10x^2-x+22 = 0}\)
Teza: \(\displaystyle{ x<3}\)
Dowód:

zastanów się jak wykorzystać tezę :v:    

Aby zachodziło \(\displaystyle{ x>3 \wedge x^4-10x^2-x+22 = 0}\)
Musi więc istnieć \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\), że:
\(\displaystyle{ x= 3+\epsilon}\) spełnia to równanie

\(\displaystyle{ (3+\epsilon)^4-10(3+\epsilon)^2-\epsilon+19 = 0}\)
\(\displaystyle{ 3^4+4 \cdot 3^3 \cdot \epsilon + 6 \cdot 3^2 \cdot \epsilon ^2 +4 \cdot 3 \cdot \epsilon ^ 3+\epsilon^4-90-10 \cdot \epsilon^2 - 61 \cdot \epsilon + 19 = 0}\)
\(\displaystyle{ \epsilon^4+12 \epsilon^3 + 44 \epsilon^2+ 47 \epsilon +10= 0}\)
A to nie ma pierwiastków dodatnich w sposób oczywisty, więc otrzymujemy sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) co kończy dowód