Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
jabol97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 2 mar 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: jabol97 » 10 kwie 2017, o 09:56

Zbadaj, czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } }}\) jest mniejsza od 3. Odpowiedź dokładnie uzasadnij.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: Justka » 10 kwie 2017, o 10:55

Wskazówka. Niech x = nasza liczba, wtedy

\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{3+x}}}\)

jabol97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 2 mar 2015, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: jabol97 » 11 kwie 2017, o 00:22

Przekształciłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{2}=5+ \sqrt{3+x}}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-10x ^{2}-x+22=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-6x+11=0}\)
Nie mam dalej pomysłu

EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16998
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2855 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: a4karo » 11 kwie 2017, o 04:44

\(\displaystyle{ \sqrt{5+ \sqrt{3+ \sqrt{5+ \sqrt{3+...} } } } <\sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+...} } } }}\)

I łatwo pokazać indukcyjnie że ta druga liczba jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ \sqrt{5+3}<3}\).

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7204
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2861 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: kerajs » 11 kwie 2017, o 07:43

jabol97 pisze: EDIT:
Wystarczy podstawić do tego równania 3 a później 2 i opisać, że dla 3 wartość jest \(\displaystyle{ >0}\) , a dla 2 \(\displaystyle{ <0}\) więc podana liczba \(\displaystyle{ \in \left(2;3 \right)}\)?
Gdybyś robił niezbędne założenia to wiedziałbyś że 2 jest tu błędną liczbą (nie należącą do dziedziny uzyskanego wyrażenia) więc i wnioski z jej wstawienia niczego nie dowodzą. Należy sprawdzić wartość wyrażenia od liczby nie mniejszej niż \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Zbadaj, czy liczba jest mniejsza od 3

Post autor: PoweredDragon » 14 kwie 2017, o 03:56

Założenie: \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ x^4-10x^2-x+22 = 0}\)
Teza: \(\displaystyle{ x<3}\)
Dowód:
zastanów się jak wykorzystać tezę :v:    

ODPOWIEDZ