Matematyka.pl

Tym razem przypuścmy, że liczby x i a są powiazane wzorem jak pozniej . W tej sytuacji wykaż, ze wn da sie przedstawić jako wielomian zmiennej rzeczywistej a, zas póżniej oblicz wartość tegoz warażenia wn dla zadanej konkrtenej wartości n, i podaj wszystkie jego pierwiastki aj

\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=a}\)
\(\displaystyle{ w_n=x^n+\frac{1}{x^n}}\)
n=7

Może taka wskazówka do części pierwszej zadania:
Korzystając z wzoru dwumiennego Newtona i potęgując stronami daną równość można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ a^{2n} = \sum_{k = 0}^{n - 1}{2n\choose k}\left(x^{2n - 2k} + \frac{1}{x^{2n - 2k}}\right) + {2n\choose n} = \sum_{k = 0}^{n - 1}{2n\choose k}w_{2(n - k)} + {2n\choose n}}\)
i analogicznie:
\(\displaystyle{ a^{2n + 1} = \sum_{k = 0}^{n}{2n + 1\choose k}w_{2(n - k) + 1}}\).

max napisał:
Może taka wskazówka do części pierwszej zadania:

Korzystając z wzoru dwumiennego Newtona i potęgując stronami daną równość można zauważyć, że:

ok , fajnie, teraz wartałoby nieco pokazać, jak
wzory te pracuja w konkretnej sytuacji
tj jak wyzej..

Zrobię inaczej.

Podstawiając \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\) otrzymujemy (dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\)):
\(\displaystyle{ w_{n} = x^{n} + y^{n}}\)
czyli \(\displaystyle{ w_{n}}\)jest wielomianem symetrycznym tych dwóch zmiennych.
Ponadto:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y = a\\ xy = 1\end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ x + y, \ xy}\) to tzw elementarne (podstawowe) wielomiany symetryczne dwóch zmiennych.

Wiadomo skądinąd (*), że dowolny wielomian symetryczny można przedstawić w postaci wielomianu wielomianów elementarnych.
Dowód tego faktu dla przypadku dwóch zmiennych jest bardzo prosty, mianowicie każdy wielomian symetryczny dwóch zmiennych jest sumą wyrażeń postaci:
\(\displaystyle{ x^{n + 1} + y^{n + 1} = (x + y)(x^{n} + y^{n}) - xy(x^{n - 1} + y^{n - 1})\\
x^{n + 1}y^{n + 1} = (xy)^{n+1}\\
x^{k}y^{l} + x^{l}y^{k} = (xy)^{l}(x^{k - l} + y^{k - l}), \ k > l}\)
(na nasze potrzeby wystarczyłaby tylko pierwsza z tych równości)
i wystarczy posłużyć się indukcją zupełną.
\(\displaystyle{ x + y = a\\
x^{2} + y^{2} = a^{2} - 2\\
x^{3} + y^{3} = a^{3} - 3a\\
x^{4} + y^{4} = a^{4} - 4a^{2} + 2\\
x^{5} + y^{5} = a^{5} - 5a^{3} + 5a\\
x^{6} + y^{6} = a^{6} - 6a^{4} + 9a^{2} - 2\\
x^{7} + y^{7} = a^{7} - 7a^{5} + 14a^{3} - 7a}\)
ostatni wielomian na 3 pierwiastki, jeden równy 0 i dwa niewymierne będące liczbami przeciwnymi (ich kwadrat też jest niewymierny) w przedziale \(\displaystyle{ (-1, 1)}\)

(*)Dowód przypadku ogólnego podziwiać można (w dwóch wersjach)

max napisał:

ostatni wielomian na 3 pierwiastki, jeden równy 0 i dwa niewymierne będące liczbami przeciwnymi (ich kwadrat też jest niewymierny) w przedziale (-1,1)

Ja tylko uzupełnie podajac rozklad na czynniki, a własnie o te rekurencje prosiłem, na koniec tez fajny wzór, który może pomoc nieco szybciej..obliczyć wn, dla indeksów parzystych- niektorych..., co moze nieco uproscić rachunki, etc.

\(\displaystyle{ x^{2m}+\frac{1}{x^{2m}}=(x^m+\frac{1}{x^{m}})^2-2}\)
\(\displaystyle{ w_7(a)=(a^4-4a^2+2)(a^3-3a)-a}\)

max napisał:

ostatni wielomian na 3 pierwiastki, jeden równy 0 i dwa niewymierne będące liczbami przeciwnymi (ich kwadrat też jest niewymierny) w przedziale (-1,1)

No to ja jeszcze powinienem dopisać drobne sprostowanie, bo ten wielomian jednak będzie miał w liczbach rzeczywistych 7 pierwiastków - jeden równy zero, pozostałe niewymierne, rozłożone symetrycznie względem zera. Dodatnie będą w przedziałach: \(\displaystyle{ (0, 1), ft(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right), ft(\sqrt{3}, 2\right)}\)
(wcześniej źle policzyłem pochodną )