Strona 1 z 1
Znajdź c dla którego równanie ma jak najmniejszą warto
: 9 wrz 2007, o 18:25
autor: Gregorias
Dla danych a>0, b>0 i 1>y>0 znajdź c>0 dla którego równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2acy} + \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2bcy}}\)
ma jak najmniejszą wartość. Proszę o przedstawienie wszystkich ważniejszych obliczeń i uzasadnienie ich.
Znajdź c dla którego równanie ma jak najmniejszą warto
: 24 wrz 2007, o 18:50
autor: mmonika
Nie daję 100% gwarancji, ale wydaje mi się, że można to rozwiązać następująco:
liczby a,b,c,y są dotatnie i zakładam, że rozwiązania poszukujemy w liczbach rzeczywistych a zatem wartośći podpierwiastkowe powinny być co najmniej nieujemne. Zatem najmniejszym rozwiązaniem byłoby 0. Poszukajmy więc rozwiązań kiedy oba wyrażenia podpierwiastkowe są równe zeru, wtedy:
a^2 + c^2 - 2acy = 0
b^2 + c^2 - 2bcy = 0
po odjęciu r-ń:
a^2 - b^2 - 2cy(a - b) = 0 ↔ (a - b)(a+b) - 2cy(a - b) = 0 ↔ (a-b)(a + b - 2cy) = 0
aby to było spełnione przynajmniej jeden wyraz musi być = 0, a nas interesuje drugi wyraz, zatem:
a + b - 2cy = 0 ↔ (a+b)/2y=c