Matematyka.pl

Wyznaczam ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych i problem pojawia się przy odkrywaniu punktów stacjonarnych. Mam układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x(x^{2} + 2y^{2} -1) = 0 \\ -2y( x^{2} + 2 y^{2} - 2) = 0 \end{cases}}\)

Na pewno będzie punkt (0,0), ale jak rozpisać dla pozostałych?

Rozważasz teraz przypadek, że dokładnie jedno z \(\displaystyle{ x,y}\) jest zerem. Obliczę dla \(\displaystyle{ x=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ y \neq 0}\) to Drugie równanie też musi się wyzerować, więc
\(\displaystyle{ 0^{2}+2y^{2}-2=0 \Rightarrow y^{2}=1 \Rightarrow y=1 \vee y=-1}\). analogicznie \(\displaystyle{ y=0}\). Przy \(\displaystyle{ x,y \neq 0}\) mamy, że układ utworzony z równań \(\displaystyle{ nawias=0}\) jest sprzeczny.

Może spróbuj podstawienie \(\displaystyle{ x^2+2y^2-1=t}\)

Do postu Kartezjusza:
Właśnie tak robiłem. Z tego wychodzi aż 5 punktów: \(\displaystyle{ (0,0), (0,-1), (0,1), (-1,0), (1,0)}\) co jest rzadkością w tego typu zadaniach więc trochę zwątpiłem. Ale skoro tak jest poprawnie. Dziękuję za pomoc

To jest dopiero warunek konieczny. Zobacz jeszcze, czy drugie pochodne spełniają warunki na typy ekstremów.