Układ równań

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
track01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 paź 2013, o 15:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Układ równań

Post autor: track01 » 14 wrz 2016, o 18:08

Wyznaczam ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych i problem pojawia się przy odkrywaniu punktów stacjonarnych. Mam układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x(x^{2} + 2y^{2} -1) = 0 \\ -2y( x^{2} + 2 y^{2} - 2) = 0 \end{cases}}\)

Na pewno będzie punkt (0,0), ale jak rozpisać dla pozostałych?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7251
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 940 razy

Układ równań

Post autor: Kartezjusz » 14 wrz 2016, o 18:12

Rozważasz teraz przypadek, że dokładnie jedno z \(\displaystyle{ x,y}\) jest zerem. Obliczę dla \(\displaystyle{ x=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ y \neq 0}\) to Drugie równanie też musi się wyzerować, więc
\(\displaystyle{ 0^{2}+2y^{2}-2=0 \Rightarrow y^{2}=1 \Rightarrow y=1 \vee y=-1}\). analogicznie \(\displaystyle{ y=0}\). Przy \(\displaystyle{ x,y \neq 0}\) mamy, że układ utworzony z równań \(\displaystyle{ nawias=0}\) jest sprzeczny.

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Układ równań

Post autor: Benny01 » 14 wrz 2016, o 18:13

Może spróbuj podstawienie \(\displaystyle{ x^2+2y^2-1=t}\)

track01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 paź 2013, o 15:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Układ równań

Post autor: track01 » 14 wrz 2016, o 18:30

Do postu Kartezjusza:
Właśnie tak robiłem. Z tego wychodzi aż 5 punktów: \(\displaystyle{ (0,0), (0,-1), (0,1), (-1,0), (1,0)}\) co jest rzadkością w tego typu zadaniach więc trochę zwątpiłem. Ale skoro tak jest poprawnie. Dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2016, o 18:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7251
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 940 razy

Układ równań

Post autor: Kartezjusz » 15 wrz 2016, o 10:52

To jest dopiero warunek konieczny. Zobacz jeszcze, czy drugie pochodne spełniają warunki na typy ekstremów.

ODPOWIEDZ