Nierówność na nudny wieczór

[Premislav]

Proszę udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ abc=1}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+ \frac{1}{c^2+c+1} \ge 1}\)

A jeśli to nieprawda, to proszę podać kontrprzykład.

[Kartezjusz]

Licząc dostałem raka.

Ukryta treść:    

lemat

\(\displaystyle{ x,y,z}\) dodatnie
Jeśli \(\displaystyle{ x+y+z \le xyz}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} \ge 1}\)
mnożymy tezę przez iloczyn mianownikòw i z tw. Pałkarego mamy tezę.

Teraz przy
\(\displaystyle{ x=a+ a^2}\)
\(\displaystyle{ y=b+b^2}\)
\(\displaystyle{ z=c+c^2}\)
Sprawdzamy tezę lematu. Przy uwzględnieniu \(\displaystyle{ abc=1}\) powinno się dojść do znanej nieròwności \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab+bc+ ac}\)

[bosa_Nike]

To założenie, które masz sprawdzić, to \(\displaystyle{ x+y+z+2\ge xyz}\), poza tym fajnie.

Powiązana z powyższą, w dodatnich \(\displaystyle{ abc=1}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+ \frac{1}{c^2-c+1} \le 3}\)

[Premislav]

To jeszcze może wrzucę rozwiązanie oryginalnego problemu znane mi z literatury:

Ukryta treść:    

skoro \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}^+}\) i \(\displaystyle{ abc=1}\), to istnieją takie liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ a= \frac{yz}{x^2}, b= \frac{xz}{y^2}, c= \frac{xy}{z^2}}\).
Nierówność przyjmuje następującą formę:
\(\displaystyle{ \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\frac{y^4}{y^4+y^2xz+x^2z^2}+ \frac{z^4}{z^4+z^2xy+x^2y^2}\ge 1}\)
Z użyciem nierówności Schwarza można wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\frac{y^4}{y^4+y^2xz+x^2z^2}+ \frac{z^4}{z^4+z^2xy+x^2y^2} \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+(xy)^{2}+(yz)^{2} + (zx)^2}}\)
A konkretnie:
szacujemy z dołu lewą stronę z nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela, która to jest np. w kompendium tegoż forum: Nierówności - Kompendium

Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ (x^2+y^2+z^2)^2 \ge x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+(xy)^{2}+(yz)^{2}+(zx)^{2}}\), a to już jest nietrudne...
Źródło: Secrets of Inequalities, tom I.

[Kartezjusz]

To założenie, które masz sprawdzić, to \(\displaystyle{ x+y+z+2\ge xyz}\), poza tym fajnie.

Powiązana z powyższą, w dodatnich \(\displaystyle{ abc=1}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+ \frac{1}{c^2-c+1} \le 3}\)

W moim tez ta dwója byla. Dzięki za zauważenie literówki