Układ równań

Munchkinomikon · Post autor: **Munchkinomikon** » 10 mar 2016, o 16:57

Cześć, jestem chyba jakiś głupi ponieważ nie potrafię rozwiązać układu równań (który sam ułożyłem na podstawie treści zadania i według odpowiedzi jest on dobrze), ale nie wiem jak go rozwiązać
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} - \frac{x}{y+10} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y-10} - \frac{x}{y} = 1}\)
Jakby co zadanie jest z Kangura 1993

Post autor: **Zahion** » 10 mar 2016, o 17:11

Dodaj równania stronami i wyznacz \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\).

Munchkinomikon · Post autor: **Munchkinomikon** » 10 mar 2016, o 17:29

Próbowałem, ale ciągle źle mi wychodzi

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 mar 2016, o 17:42

To pokaż, jak liczysz.

JK

Munchkinomikon · Post autor: **Munchkinomikon** » 10 mar 2016, o 19:39

Po prostu sumuję równania, to wtedy jeden ułamek się skraca, ale zostaje wciąż
\(\displaystyle{ \frac{x}{y-10} - \frac{x}{y+10} = \frac{5}{3}}\)
I nie mam pomysłu jak to zrobić, chyba po prostu za głupi jestem do takich zadań... Próbowałem też wyznaczaniem 1, ale to przynosiło słabe rezultaty- po kilku działaniach wyszło mi genialne
\(\displaystyle{ 20=\frac{5}{3}}\)

kmarciniak1 · Post autor: **kmarciniak1** » 10 mar 2016, o 21:08

Sprowadź do wspólnego mianownika.
\(\displaystyle{ \frac{x(y+10)}{(y+10)(y-10)} - \frac{x(y-10)}{(y-10)(y+10)} = \frac{5}{3}}\)
Później wymnóż nawiasy w liczniku i odejmij.

Edytowałem i zmieniłem znaki w dwóch miejscach.

Munchkinomikon · Post autor: **Munchkinomikon** » 11 mar 2016, o 00:02

wychodzi
\(\displaystyle{ y ^{2} =12x+100}\)
i nadal nie wiem, może to nie jest dobra pora na matmę

Elayne · Post autor: **Elayne** » 11 mar 2016, o 05:16

Pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez trzy a drugie równanie pomnożyć przez dwa, następnie dodać równania stronami wyjdzie wtedy, że \(\displaystyle{ y=50}\). Po podstawieniu tego do równania mamy \(\displaystyle{ x=200}\).

Munchkinomikon · Post autor: **Munchkinomikon** » 11 mar 2016, o 10:54

Zrobiłem tak i mi wyszło, dzięki bardzo za pomoc

darek334 · Post autor: **darek334** » 12 mar 2016, o 12:29

kmarciniak1 pisze:Sprowadź do wspólnego mianownika.
\(\displaystyle{ \frac{x(y+10)}{(y+10)(y-10)} - \frac{x(y-10)}{(y-10)(y+10)} = \frac{5}{3}}\)
Później wymnóż nawiasy w liczniku i odejmij.

Edytowałem i zmieniłem znaki w dwóch miejscach.

Z tego mi wychodzi :

\(\displaystyle{ \frac{x(y+10) - x(y-10)}{(y+10)(y-10)} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{xy+10x - xy+10x}{(y+10)(y-10)} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\not xy+10x - \not xy+10x}{(y+10)(y-10)} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{20x}{(y+10)(y-10)} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 20x = 5\\ (y+10)(y-10) = 3\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{1}{4} \\ (y+10)(y-10) = 3\end{cases}}\)
...

kmarciniak1 · Post autor: **kmarciniak1** » 12 mar 2016, o 13:27

Przekształcając drugie równanie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{10x}{ y^{2}-10y } =1}\)
\(\displaystyle{ 10x= y^{2}-10y}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ y ^{2}=12x+100}\)
\(\displaystyle{ 10x=12x+100-10y}\)
\(\displaystyle{ 5y-50=x}\)
Teraz podstawiamy to do pierwszego równania
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i odjęciu
\(\displaystyle{ \frac{50y-500}{y ^{2}+10y } = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ 150y-1500=2y ^{2} -130y+1500}\)
\(\displaystyle{ 2y ^{2} -130y+1500=0}\)
\(\displaystyle{ y=15}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ y=50}\)