Wykazanie nierówności prawdziwości.

[dawido000]

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc}\)

[Anathemed]

Prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) qslant 0}\)

Gdy skorzystasz jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\), to otrzymasz szukaną nierówność

[dawido000]

Ale jak to? Z czego to wszystko wyszło?

[Rogal]

Nooo, trochu za szybko kolega zadanie zrobił ; )
Raczej trzeba by wyjść tradycyjniej i udowodnić, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze nieujemna : )
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc = \frac{1}{2}a^{2} - ab + \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{2} - ac + \frac{1}{2}c^{2} +\frac{1}{2}b^{2} - bc + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2} (a-b)^{2} + \frac{1}{2} (a-c)^{2} + \frac{1}{2} (b-c)^{2} = \frac{1}{2} [(a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2}]}\)
A wiemy, że suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co dowodzi naszej nierówności.

[Hania_87]

trzeba kombinować w takich zadaniach, coś dodać coś odjąć by wyszło, a było ok.
np \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\), a mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ a^2-ab+b^2}\) więc mnożymy i dzielimy przez 2, dlatego przed nawiasem mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)