Wykazanie nierówności prawdziwości.
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Wykazanie nierówności prawdziwości.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc}\)
- Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Wykazanie nierówności prawdziwości.
Prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) qslant 0}\)
Gdy skorzystasz jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\), to otrzymasz szukaną nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) qslant 0}\)
Gdy skorzystasz jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\), to otrzymasz szukaną nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Wykazanie nierówności prawdziwości.
Nooo, trochu za szybko kolega zadanie zrobił ; )
Raczej trzeba by wyjść tradycyjniej i udowodnić, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze nieujemna : )
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc = \frac{1}{2}a^{2} - ab + \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{2} - ac + \frac{1}{2}c^{2} +\frac{1}{2}b^{2} - bc + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2} (a-b)^{2} + \frac{1}{2} (a-c)^{2} + \frac{1}{2} (b-c)^{2} = \frac{1}{2} [(a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2}]}\)
A wiemy, że suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co dowodzi naszej nierówności.
Raczej trzeba by wyjść tradycyjniej i udowodnić, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze nieujemna : )
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc = \frac{1}{2}a^{2} - ab + \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{2} - ac + \frac{1}{2}c^{2} +\frac{1}{2}b^{2} - bc + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2} (a-b)^{2} + \frac{1}{2} (a-c)^{2} + \frac{1}{2} (b-c)^{2} = \frac{1}{2} [(a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2}]}\)
A wiemy, że suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co dowodzi naszej nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Wykazanie nierówności prawdziwości.
trzeba kombinować w takich zadaniach, coś dodać coś odjąć by wyszło, a było ok.
np \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\), a mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ a^2-ab+b^2}\) więc mnożymy i dzielimy przez 2, dlatego przed nawiasem mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
np \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\), a mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ a^2-ab+b^2}\) więc mnożymy i dzielimy przez 2, dlatego przed nawiasem mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)