Dowod nierownosci

[a456]

Pokaż że dla dodatnich \(\displaystyle{ a, b, c}\) takich że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{a}\right) \left( 1+\frac{1}{b}\right) \left( 1+\frac{1}{c}\right) \ge 64}\)

[gus]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 64=4 \cdot 4 \cdot 4}\) Trzeba użyć nierówności między śr. arytmetyczną i geometryczną.

[a456]

ok akurat też sie domyslilem że nierówności pomiędzy średnimi, ale nie wiem jak dokładnie je wykorzystać

[Hydra147]

Sposób pierwszy:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{a}\right) \left( 1+\frac{1}{b}\right) \left( 1+\frac{1}{c}\right)=\left( \frac{a+a+b+c}{a}\right) \left( \frac{a+b+b+c}{b}\right) \left( \frac{a+b+c+c}{c}\right) \ge \frac{64 \sqrt[4]{a^2bc} \cdot \sqrt[4]{ab^2c} \cdot \sqrt[4]{abc^2} }{abc}=64}\)

Sposób drugi:

Ukryta treść:    

Logarytmując stronami (podstawa 2) i dzieląc przez trzy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ L=\frac{1}{3} \left[ \log \left( 1+ \frac{1}{a} \right) +\log \left( 1+ \frac{1}{b} \right) +\log \left( 1+ \frac{1}{c} \right) \right] \ge \log \left( 1+ \frac{1}{ \frac{1}{3} } \right) =2=P}\)
Przy czym nierówność otrzymujemy na mocy nierówności Jensena dla funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\log \left( 1+ \frac{1}{x} \right)}\)

W obu przypadkach otrzymujemy, że równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ a=b=c= \frac{1}{3}}\)