Tożsamości i uogólnienia

[szw1710]

Podobne:

\(\displaystyle{ \frac{\not 6\;\;4}{1\not 6}=\dots}\)

[mol_ksiazkowy]

Podobne:

czy sa inne?

Wyznacz \(\displaystyle{ a, b, c}\) i uogólnij:
\(\displaystyle{ 3^3+10^3 = f(a)}\)
\(\displaystyle{ 12^3+31^3 = f(b)}\)
\(\displaystyle{ 27^3+64^3 = f(c)}\) o ile \(\displaystyle{ f(x)= (x+1)^3 - x^3}\)

[bakala12]

Fajnie się szukało:    

\(\displaystyle{ \left( 3k^{2}\right)^{3}+\left( 6k^{2}+3k+1\right)^{3}=f\left( 9k^{3}+6k^{2}+3k\right)}\)
Istotnie, rachunki potwierdzają tą tożsamość
... ual=Submit
\(\displaystyle{ a=18,b=102,c=306}\)

[mol_ksiazkowy]

i nastepne Wyznacz \(\displaystyle{ a, b, c}\) i uogólnij:
\(\displaystyle{ 3^3+4^3 = f(a)}\)
\(\displaystyle{ 12^3+19^3 = f(b)}\)
\(\displaystyle{ 27^3+46^3 = f(c)}\) o ile \(\displaystyle{ f(x)= (x+1)^3 - x^3}\)

[bakala12]

Teraz poszło szybciutko

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( 3k^{2}\right)^{3}+\left( 6k^{2}-3k+1\right)^{3}=f\left( 9k^{3}-6k^{2}+3k-1\right)}\)
\(\displaystyle{ a=5,b=53,c=197}\)
... 29%5E3%3D0

[mol_ksiazkowy]

Liczby \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{107811}{3}}, \sqrt[3]{\frac{110778111}{3}},\sqrt[3]{ \frac{111077781111}{3}} ,...}\) są w \(\displaystyle{ N}\)
Uzasadnić

[mol_ksiazkowy]

i takie \(\displaystyle{ \sqrt{1296}= 1+ 29+6}\)
Czy sa inne takie n?
(przykład lub dowód)

[bakala12]

i takie \(\displaystyle{ \sqrt{1296}= 1+ 29+6}\)
Czy sa inne takie n?
(przykład lub dowód)

Są. Przykład (na wykładzie było nudno, to znalazłem):
\(\displaystyle{ \sqrt{6724} =6+72+4=82}\)
No i jeszcze podobne:
\(\displaystyle{ \sqrt{3025}=30+25=55}\)

[mol_ksiazkowy]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k= 4n^2+3n}^{4n^2 + 4n} k^4 + (2n(n+1))^3 = \sum_{k= 4n^2+4n+1}^{4n^2 + 5n} k^4}\)

[bakala12]

Rozumiem, że chodzi o coś bardziej wyrafinowanego niż wzięcie wzoru na sumę czwartych potęg i tępe przeliczenie że się zgadza?

[mol_ksiazkowy]

o coś bardziej wyrafinowanego

mozew być dowolnie... I jeszcze jedno:
Uogólnij:
\(\displaystyle{ 3^3+ 10^3+ 18^3= 19^3}\)
\(\displaystyle{ 12^3+ 31^3+ 102^3= 103^3}\)
\(\displaystyle{ 27^3+ 64^3+ 306^3= 307^3}\)

[bakala12]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( 3k^{2}\right)^{3}+\left( 6k^{2}+3k+1\right)^{3}+\left( 9k^{3}+6k^{2}+3k\right)^{3}=\left( 9k^{3}+6k^{2}+3k+1\right) ^{3}}\)

[Ponewor]

Liczby \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{107811}{3}}, \sqrt[3]{\frac{110778111}{3}},\sqrt[3]{ \frac{111077781111}{3}} ,...}\) są w \(\displaystyle{ N}\)
Uzasadnić

Liczby pod pierwiastkiem są postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\left( \frac{10^{n}-1}{9}\cdot 10^{2n+3} + \frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot 7 \cdot 10^{n+1} + \frac{10^{n+2}-1}{9}\right)}\), co po przekształceniach zawija się do \(\displaystyle{ \left(\frac{10^{n+1}-1}{3}\right)^{3}}\).

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b-c)^2}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^2+ (a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}= \frac{a-c}{b-c}}\)
o ile \(\displaystyle{ b \neq c \neq b+a}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ L = \frac{a^2+ \left( a-c\right) ^2}{b^2+\left( b-c\right) ^2}= \frac{\left( a^{2}+b^{2}\right)+\left( a^{2}-2ac+c^{2}-b^{2}\right) }{\left( a^{2}+b^{2}\right)+\left( b^{2}+c^{2}-2bc+a^{2}\right) } = \frac{\left( a^{2}+b^{2}\right) + \left( a-c-b\right)\left( a-c+b\right) }{\left( a^{2}+b^{2}\right)+\left( b-c-a\right) \left( b-c+a\right) }= \frac{\left( a+b-c\right)^{2}+\left( a+b-c\right)\left( a-c-b\right) }{\left( a+b-c\right)^{2}+\left( a+b-c\right)\left( b-c-a\right) }= \frac{a+b-c+a-c-b}{a+b-c+b-c-a}= \frac{2a-2c}{2b-2c}= \frac{a-c}{b-c}=P}\)