Tożsamości i uogólnienia
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
Uogólnij te tożsamości:
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{44} \rfloor = 6}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{444} \rfloor = ?}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{4444} \rfloor = 66}\) etc.
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{44} \rfloor = 6}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{444} \rfloor = ?}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{4444} \rfloor = 66}\) etc.
Tożsamości i uogólnienia
Eksperyment numeryczny przekonuje, że jeśli dopiszemy dwie czwórki, przybywa jedna szóstka. Tak bym to uogólniał pomijając nieparzyste liczby czwórek. Dowód nie powinien być trudny.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Tożsamości i uogólnienia
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{44} \rfloor = 6}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{4444} \rfloor = 66}\)
\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{444444} \rfloor = 666}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Tożsamości i uogólnienia
Zaś co do nieparzystej liczby czwórek to dla \(\displaystyle{ 2k-1}\) czwórek otrzymujemy pierwsze \(\displaystyle{ k}\) cyfr zapisu dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{10}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Tożsamości i uogólnienia
co myślicie o tym by zrobić to na zasadzie porównania ze
\(\displaystyle{ (6(1+10+100+...+10^n))^2 < 44(1+100+... 10^{2n} ) < (6(1+10+100+...+10^n)+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (6(1+10+100+...+10^n))^2 < 44(1+100+... 10^{2n} ) < (6(1+10+100+...+10^n)+1)^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Tożsamości i uogólnienia
Dowód dla \(\displaystyle{ n=2k}\) faktycznie nie jest trudny i opiera się na nierównościach:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} (10^k-1)< \sqrt{ \frac{4}{9} (10^(2k)-1)}<\frac{2}{3} (10^k-1)+1}\).
Dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\) nieparzystego należy oszacować naszą liczbę przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{10}\cdot 10^k}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{10}\cdot 10^k-1}\).
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} (10^k-1)< \sqrt{ \frac{4}{9} (10^(2k)-1)}<\frac{2}{3} (10^k-1)+1}\).
Dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\) nieparzystego należy oszacować naszą liczbę przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{10}\cdot 10^k}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{10}\cdot 10^k-1}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
a zatem słownie:
Uogólnij to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}= \frac{4}{3} \ \ \ 4^2+ 3^2 = 5^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}= \frac{8}{15} \ \ \ 8^2+ 15^2 = 17^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5}+ \frac{1}{7}= \frac{12}{35} \ \ \ 12^2+ 35^2 = 37^2}\)
etc.
No to takie:jeśli dopiszemy dwie czwórki, przybywa jedna szóstka. Tak bym to uogólniał pomijając nieparzyste liczby czwórek
Uogólnij to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}= \frac{4}{3} \ \ \ 4^2+ 3^2 = 5^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}= \frac{8}{15} \ \ \ 8^2+ 15^2 = 17^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5}+ \frac{1}{7}= \frac{12}{35} \ \ \ 12^2+ 35^2 = 37^2}\)
etc.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Tożsamości i uogólnienia
Łatwe:mol_ksiazkowy pisze: Uogólnij to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}= \frac{4}{3} \ \ \ 4^2+ 3^2 = 5^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}= \frac{8}{15} \ \ \ 8^2+ 15^2 = 17^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5}+ \frac{1}{7}= \frac{12}{35} \ \ \ 12^2+ 35^2 = 37^2}\)
Ukryta treść:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
to może takie:
\(\displaystyle{ 1= 1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= 2 \cdot 1 - (1+\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}= 3 \cdot 1 - 3(1+\frac{1}{2})+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})}\)
etc
\(\displaystyle{ 1= 1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= 2 \cdot 1 - (1+\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}= 3 \cdot 1 - 3(1+\frac{1}{2})+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})}\)
etc
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Tożsamości i uogólnienia
Trochę bardziej wymagające, ale też się udało.
Uff... Znalazłem nareszcie błąd w zapisie przez który był błąd w formule
Uogólnienie:
Dowód:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
uogólnijTrochę bardziej wymagające, ale...
\(\displaystyle{ 2^2+3^2+4^2+14^2 = 15^2 \\
4^2+5^2+6^2+38^2 = 39^2 \\
6^2+7^2+8^2+74^2 =}\)
etc.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
nastepne ; tez nietrudne; uogólnic
\(\displaystyle{ 8 \cdot 8 +13 =77}\)
\(\displaystyle{ 8 \cdot 88 +13 =717}\)
\(\displaystyle{ 8 \cdot 888 +13 = ?}\)
etc.
oraz \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 =36}\)
\(\displaystyle{ 66 \cdot 66 = ?}\)
itd
\(\displaystyle{ 8 \cdot 8 +13 =77}\)
\(\displaystyle{ 8 \cdot 88 +13 =717}\)
\(\displaystyle{ 8 \cdot 888 +13 = ?}\)
etc.
oraz \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 =36}\)
\(\displaystyle{ 66 \cdot 66 = ?}\)
itd
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamości i uogólnienia
to może nieco inne:
mamy np. \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3}= \frac{14}{63}}\)
?! czy są inne takie "działania" i
wyznaczyć je
mamy np. \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3}= \frac{14}{63}}\)
?! czy są inne takie "działania" i
wyznaczyć je