Tożsamości i uogólnienia

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: Vax »

1:    
2:    
3:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: timon92 »

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \frac{j}{2^j} = \frac 1{2^n} \sum_{j=1}^nj2^{n-j} = \frac 1{2^n} \sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^j 2^k = \frac 1{2^n}\sum_{j=0}^{n-1} \left(2^{j+1}-1 \right) = \frac 1{2^n} \left(\left(2^{n+1} - 2\right) - n \right) = \\
\phantom{\sum_{j=1}^{n} \frac{j}{2^j}} = 2- \frac{n+2}{2^n}}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+ \frac{a_1-b}{a_1} \frac{1}{a_2} + \frac{(a_1-b)(a_2-b)}{a_1a_2} \frac{1}{a_3} + … = \frac{1}{b}}\)
O ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{a_n}}\) jest rozbieżny
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^3+b^3 = 2c^3}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2+ac+c^2} + \frac{1}{b^2+bc+c^2} = \frac{2}{a^2+ab+b^2}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: kerajs »

Przy odpowiednich założeniach:
\(\displaystyle{ L=\frac{1}{a^2+ac+c^2} + \frac{1}{b^2+bc+c^2} =
\frac{a-c}{a^3-c^3} + \frac{b-c}{b^3-c^3} =\frac{2(a-c)}{2a^3-2c^3} + \frac{2(b-c)}{2b^3-2c^3} =\\=\frac{2(a-c)}{2a^3-a^3-b^3} + \frac{2(b-c)}{2b^3-a^3-b^3} =\frac{2(a-c)}{a^3-b^3} + \frac{2(b-c)}{b^3-a^3} =\frac{2(a-c)-2(b-c)}{a^3-b^3}=\\=\frac{2(a-b)}{(a-b)(a^2+ab+b^3)}=
\frac{2}{a^2+ab+b^2}=P}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: bosa_Nike »

Z warunku mamy, że jeżeli dowolne dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są równe, to równe są wszystkie i wyrażenie jest prawdziwe. Niech liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą parami różne. Mamy \(\displaystyle{ a^3-c^3=c^3-b^3}\), a stąd \(\displaystyle{ 2\left(a^3-c^3\right)=a^3-b^3}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ L=\frac{a-c}{a^3-c^3}+\frac{b-c}{b^3-c^3}=\frac{a-c}{a^3-c^3}-\frac{b-c}{a^3-c^3}=\frac{2}{2}\cdot\frac{a-b}{a^3-c^3}=\frac{2(a-b)}{a^3-b^3}=P}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

Mamy \(\displaystyle{ 2n = (3n)^2 + (4n-1)^2 - (5n-1)^2}\); wskazać analogię dla \(\displaystyle{ 2n+1}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Tożsamości i uogólnienia

Post autor: kerajs »

Może:
\(\displaystyle{ 2n+1 = (3n+1)^2 + (4n+2)^2 - (5n+2)^2}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Udowodnić elementarnie, że \(\displaystyle{ abc +(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b+c)(ab+bc+ca)}\).
Ostatnio zmieniony 31 maja 2021, o 12:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ abc+(a+b)(b+c)(c+a)\\=abc+(a+b)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\\=abc+(a+b)\left(ab+bc+ca\right)+(a+b)c^2\\=abc+(a+b+c)(ab+bc+ca)-c\left(ab+bc+ca\right)+(a+b)c^2\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5)}{x^7+ y^7+z^7} }\) gdy \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \frac{(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5)}{x^7+ y^7+z^7}=\frac{(x^2+y^2+(-x-y)^2)(x^5+y^5+(-x-y)^5)}{x^7+ y^7+(-x-y)^7}=\\=\frac{2(x^2+xy+y^2)(-5xy)(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)}{-7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5)}=\\= \frac{10(x^2+xy+y^2)(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)}{7(x^2+xy+y^2)(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)} = \frac{10}{7}

}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

Rozłożyć na czynniki liniowe \(\displaystyle{ 4[ (x+y)^2 -xy]^3 -27xy(x+y)^2}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: Premislav »

Nie miało być jakoś inaczej :?: Wolfram pokazuje syf. Mój kandydat to \(\displaystyle{ 4\left[(x+y)^2-xy\right]^3-27x^2y^2(x+y)^2}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Tożsamości i uogólnienia

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jak "zwinąć" \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} +\left( \frac{1}{n}+ \frac{1}{n-1}\right)^2+...+ \left( \frac{1}{n}+ \frac{1}{n-1} +...+1\right)^2}\) ?
Ostatnio zmieniony 13 gru 2022, o 18:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ