Nierówność z pierwiastkami

[dzolka]

Wykaż,że dla każdych liczb \(\displaystyle{ a,b\in (0,1)}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a \sqrt{b}+b \sqrt{a}+1>3ab}\)

[diana7]

Wskazówka:
Wykaż, że
\(\displaystyle{ a\sqrt{b} > ab \\
b \sqrt{a} > ab \\
1> ab}\)

[dzolka]

Widze ze wystarczy co podałas dodać stronami. Czyli może być tak ?
Czyli
1.
\(\displaystyle{ a \sqrt{b}>ab | ^{2} \\
a^2b>a^2b^2\\
a^2b-a^2b^2>0\\
a^2b(1-b)>0\\
\text{oczywiste bo } b\in (0,1)}\)
2. analogicznie
3.
\(\displaystyle{ 1>ab\\
1-ab>0}\)
co dalej ? Może być tak?:
\(\displaystyle{ 0<a<1\\
0<b<1
\text{ mnożąc stronami } 0<ab<1 ?}\)

[diana7]

1. Wystarczy dodać, że przekształcenia są równoważne.
Albo prościej:
\(\displaystyle{ 1>b \Rightarrow 1> \sqrt{b} \Rightarrow 1\cdot a\sqrt{b} >\sqrt{b} \cdot a\sqrt{b}=ab}\)

3. Tak.

[Zahion]

Jakby interesowało inne rozwiązanie to dość łatwo idzie ze średnich
\(\displaystyle{ a \sqrt{b}+b \sqrt{a}+1 \ge 3\sqrt[3]{ab \sqrt{ab} } > 3ab}\) gdyż \(\displaystyle{ 1 > ab}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}b > (ab) ^{2}}\) podzielić stronami i masz, że \(\displaystyle{ 1>a}\)