Wykaz nierownosc

[kolanko]

Udowodnij ze dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c prawdziwa jest nierownosc :
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} qslant 2(a+b+c)}\)

Jakas podpowiedz ...

[PFloyd]

\(\displaystyle{ a^3+\frac{1}{a}-2a=a(a-\frac{1}{a})^2}\)

[kolanko]

OK dzieki juz czaje no wlasnie nie moglem tego zaczaic

[Yankees]

\(\displaystyle{ a^3+\frac{1}{a}-2a=a(a-\frac{1}{a})^2}\)

PFloyd, czy mógłbyś od początku rozpisać ten dowód? Nie jestem jeszcze na takim poziomie matematyki i - szczerze mówiąc - w tym równaniu, które wyprowadziłeś nijak nie widzę związku z poleceniem zadania.

Z góry dzięki za wytłumaczenie.

[Uzo]

Popatrz
a jest dodatnie , natomiast \(\displaystyle{ (a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\) ponieważ coś do kwadratu nie może być ujemne.
czyli
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\)

i tak samo dla b i c

Jeśli tak wszystko zapiszesz to otrzymasz:
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+c(c-\frac{1}{c})^{2} qslant 0}\)
co jest prawdziwe dla a,b,c dodatnich

[soku11]

\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} qslant 2a+2b+2c\\
a^{3} + \frac{1}{a}-2a + b^{3}+\frac{1}{b}-2b + c^{3}+ \frac{1}{c}-2c qslant 0\\
a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a\in R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0\\
\forall b\in R_+\quad b(b-\frac{1}{b})^{2}\geqslant 0\\
\forall c\in R_+\quad c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a,b,c R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}+\geqslant 0\\}\)

Wystarczy?? POZDRO

[Yankees]

Wszystko jasne, dzięki!

[Tristan]

Można też wprost skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną otrzymując:
\(\displaystyle{ a^3 +b^3+c^3 + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =(a^3+ \frac{1}{a})+ (b^3 + \frac{1}{b})+( c^3 + \frac{1}{c}) q 2 \sqrt{ a^3 \frac{1}{a} }+ 2 \sqrt{ b^3 \frac{1}{b} }+2 \sqrt{ c^3 \frac{1}{c} }=2( \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}+\sqrt{c^2})=2(a+b+c)}\)