Matematyka.pl

Dobry wieczór otóż mam pytanie
czy da się zamienić wielomian:

\(\displaystyle{ x^3y+y^3z+z^3x-(x^3z+y^3x+z^3y)}\)

Na wielomian postaci:

\(\displaystyle{ f(X,Y,Z)}\)
gdzie:

\(\displaystyle{ X=x+y+z}\)

\(\displaystyle{ Y=xy+xz+yz}\)

\(\displaystyle{ Z=xyz}\)

a jeżeli się da to chętnie zobaczę

Twierdzenie 2 na trzeciej stronie pdf-a.

No tak , tylko u mnie w myśl tej zamiany w tym tw. otrzymamy coś takiego:

\(\displaystyle{ (y-z)[x^3-(y^2+yz+z^2)x+zy(y+z)]}\)

wszystko w kwadratowym nawiasie da się zamienić lecz ze współczynnikiem:

\(\displaystyle{ y-z}\)

będzie ciężko!


Zresztą i tak ze względu na "x" po zamianie nie będzie to ładny wielomian


niech:

\(\displaystyle{ p=x+y+z}\)

\(\displaystyle{ q=xy+xz+yz}\)

\(\displaystyle{ r=xyz}\)

\(\displaystyle{ p_{1}=y+z}\)

\(\displaystyle{ p_{2}=yz}\)

z tego widać:

\(\displaystyle{ p=p_{1}+x}\)

\(\displaystyle{ q=p_{2}+p_{1}x}\)

\(\displaystyle{ r=p_{2}x}\)

rozwiązując ten układ równań otrzymamy dosyć nieprzyjemne równanie:

\(\displaystyle{ x^3-(p-q)x^2-r=0}\)

Podsumowując i reasumując: to co jest w kwadratowym nawiasie da się rozłożyć aczkolwiek w sposób
bardzo niemiły, lecz całości się nie da rozłożyć!

Nie da się, bo gdyby się dało przedstawić go jako funkcję wielomianową od wielomianów symetrycznych, to sam też byłby wielomianem symetrycznym. A nie jest.

Q.

Całości się nie da na 100 % ale to się mija z celem.