Dowodzenie nierówności - średnia

[wicherkowa]

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste spełniają nierówności \(\displaystyle{ a>b>c>d>0}\) to \(\displaystyle{ \frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c+d}{4} > \frac{b+d}{2}}\)
Próbowałam usunąć ułamki z tezy i podstawiać te nierówności do tych z założenie, ale nie mogę z tym dość do żadnych wniosków. Widzę tu średnią arytmetyczną, ale nie wiem jak to wykorzystać. Proszę o pomoc i przepraszam jeśli coś jest niejasne lub w złym dziale, ale jestem tu po raz pierwszy.

[szw1710]

Zrób sobie rysunek, a zobaczysz. Zauważ, że środek w Twojej nierówności jest średnią arytmetyczną końców. To wszystko. Średnia zawsze leży pomiędzy minimum a maksimum.

[wicherkowa]

Nie bardzo rozumiem jaki rysunek mam zrobić?

[qwe771]

no narysuj sobie te punkty \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) na osi i potem zaznacz środek odcinka \(\displaystyle{ ac}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{a+c}{2}}\) itd

[szw1710]

Narysowałbym wszystkie wielkości występujące w nierówności biorąc pod uwagę moją poprzednią wskazówkę.

[wicherkowa]

Już rozumiem, dziękuję

[Karolinaa0]

Chciałam zapytać czy da się ten dowód przeprowadzić wychodząc z założenia?
Moje próby skończyły się na wypisaniu założeń do pierwszej części nierówności: \(\displaystyle{ c>0, c>d, a>c,
a>b}\) i dodaniu stronami: \(\displaystyle{ 2c+2a>b+c+d}\), ale zabrakło miejsca dla \(\displaystyle{ a}\). Z góry bardzo dziękuję.

[Jan Kraszewski]

Chciałam zapytać czy da się ten dowód przeprowadzić wychodząc z założenia?

Tak.

Moje próby skończyły się na wypisaniu założeń do pierwszej części nierówności: \(\displaystyle{ c>0, c>d, a>c,
a>b}\) i dodaniu stronami: \(\displaystyle{ 2c+2a>b+c+d}\), ale zabrakło miejsca dla \(\displaystyle{ a}\).

Czyli, jak należy przypuszczać, nie tędy droga. A już na początku tego wątku miałaś napisane:

Zauważ, że środek w Twojej nierówności jest średnią arytmetyczną końców. To wszystko. Średnia zawsze leży pomiędzy minimum a maksimum.

Wystarczy zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ a>b}\) i \(\displaystyle{ c>d}\), to \(\displaystyle{ \frac{a+c}{2} > \frac{b+d}{2}}\) i skorzystać z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ x>y}\), to \(\displaystyle{ x>\frac{x+y}{2}>y.}\)

JK

[Karolinaa0]

Skąd wynika fakt, że jeśli: \(\displaystyle{ x>y}\), to \(\displaystyle{ x>\frac{x+y}{2}>y}\) ? Z twierdzenia o średniej arytmetycznej liczb? Rozumiem to jak najbardziej, ale nie wiem, jak ładnie to ubrać w słowa w dowodzie, na mocy jakiego twierdzenia się opieram.

[a4karo]

\(\displaystyle{ x=\frac{x+x}{2}>\frac{x+y}{2}>\frac{y+y}{2}=y}\)

Podobnie łatwo zrobisz wyjściową nierówność

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x=\frac{x+x}{2}>\frac{x+y}{2}>\frac{y+y}{2}=y}\)

Albo weź nierówność \(\displaystyle{ x>y}\), dodaj do obu stron \(\displaystyle{ x}\) i zobacz co wyjdzie. Potem weź nierówność \(\displaystyle{ x>y}\), dodaj do obu stron \(\displaystyle{ y}\) i zobacz co wyjdzie.

JK

[Karolinaa0]

Rozumiem, dziękuję. W takim razie nie potrzeba tego faktu udowadniać, bo uchodzi on za oczywistość?

[Jan Kraszewski]

W takim razie nie potrzeba tego faktu udowadniać, bo uchodzi on za oczywistość?

To zależy od sytuacji. Ale przecież umiesz go udowodnić.

JK

[Karolinaa0]

Bardzo dziękuję