Suma liczb

[Zahion]

Czy istnieje wzór na sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n}}\) dla\(\displaystyle{ n \in N}\) I np. jak obliczyć sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{100}}\). Dziękuje za pomoc

[szw1710]

Najprostszy wzór to sprowadzenie do wspólnego mianownika Ja nie znam prostego wzoru na sumy częściowe szeregu harmonicznego. Zmierzają do nieskończoności, tylko bardzo wolno.

Co do drugiego zadania, obliczam to w R:

Kod: Zaznacz cały

> sum(1/1:100)
[1] 5.187378

Co do wolnego tempa zmierzania do nieskończoności:

Kod: Zaznacz cały

> sum(1/1:100)
[1] 5.187378
> sum(1/1:1000)
[1] 7.485471
> sum(1/1:1000000)
[1] 14.39273
> sum(1/1:10000000)
[1] 16.69531
> sum(1/1:100000000)
[1] 18.9979

[Zahion]

"obliczam to w R " czyli ?
Czy tą samą metodę można zastosować do \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{100} }}\)

[szw1710]

Kod: Zaznacz cały

http://www.r-project.org/

[Qń]

Czy istnieje wzór na sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n}}\) dla\(\displaystyle{ n \in N}\)

Nie, ale ta suma ma swoje specjalne oznaczenie \(\displaystyle{ H_n}\) i nazwę: liczba harmoniczna.

I np. jak obliczyć sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{100}}\).

Wzoru jawnego nie ma, ale jeśli wystarczy Ci rząd wielkości, to prawdziwe są oszacowania:
\(\displaystyle{ \ln n < H_n < \ln n+1}\)
oraz:
\(\displaystyle{ H_n\approx \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}}\)
(błąd jest mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{120n^4}}\); \(\displaystyle{ \gamma}\) to stała Eulera, równa mniej więcej \(\displaystyle{ 0,5772156649...}\))

Q.

[Zahion]

Dziękuje to w zupełności mi wystarczy : )

[szw1710]

Zahion,

Kod: Zaznacz cały

> sum(1/sqrt(2:100))
[1] 17.5896

[Zahion]

Dzięki : )

[JakimPL]

Wzoru jawnego nie ma

Analitycznie, za pomocą funkcji digamma:

\(\displaystyle{ H_n=\gamma+\psi_0(n+1)}\)

przy tej samej stałej, co wymieniłeś. O funkcji \(\displaystyle{ \psi_0}\):



która jest bezpośrednio związana z uogólnieniem silni Eulera: funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\).

Przy czym zaznaczę, że są to funkcje specjalne i znajdowanie ich dokładnych wartości jest zadaniem tak samo trudnym jak przeliczenie sumy*. Tym niemniej taki wzór istnieje.

* - można wyliczyć poniższą całkę:

\(\displaystyle{ \psi_0(z)=\int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-z t}}{1-e^{-t}}\right)\mbox{d}t}\)

[Qń]

Tym niemniej taki wzór istnieje.

To już zależy co rozumiemy przez wzór jawny - w tradycyjnym rozumieniu podany przez Ciebie raczej taki nie jest.

Q.

[JakimPL]

Zgadza się; w niektórych ujęciach do zestawu tzw. well-known functions dołącza się, poza funkcjami elementarnymi, niektóre funkcje specjalne. Nie jest to kwestia ustandaryzowana i jednolita.

Pozdrawiam.