Suma liczb
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Suma liczb
Czy istnieje wzór na sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n}}\) dla\(\displaystyle{ n \in N}\) I np. jak obliczyć sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{100}}\). Dziękuje za pomoc
Suma liczb
Najprostszy wzór to sprowadzenie do wspólnego mianownika Ja nie znam prostego wzoru na sumy częściowe szeregu harmonicznego. Zmierzają do nieskończoności, tylko bardzo wolno.
Co do drugiego zadania, obliczam to w R:
Co do wolnego tempa zmierzania do nieskończoności:
Co do drugiego zadania, obliczam to w R:
Kod: Zaznacz cały
> sum(1/1:100)
[1] 5.187378
Kod: Zaznacz cały
> sum(1/1:100)
[1] 5.187378
> sum(1/1:1000)
[1] 7.485471
> sum(1/1:1000000)
[1] 14.39273
> sum(1/1:10000000)
[1] 16.69531
> sum(1/1:100000000)
[1] 18.9979
Ostatnio zmieniony 15 mar 2013, o 16:16 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Suma liczb
"obliczam to w R " czyli ?
Czy tą samą metodę można zastosować do \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{100} }}\)
Czy tą samą metodę można zastosować do \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{100} }}\)
Ostatnio zmieniony 15 mar 2013, o 16:12 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Suma liczb
Nie, ale ta suma ma swoje specjalne oznaczenie \(\displaystyle{ H_n}\) i nazwę: liczba harmoniczna.Zahion pisze:Czy istnieje wzór na sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n}}\) dla\(\displaystyle{ n \in N}\)
Wzoru jawnego nie ma, ale jeśli wystarczy Ci rząd wielkości, to prawdziwe są oszacowania:I np. jak obliczyć sumę liczb \(\displaystyle{ 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{100}}\).
\(\displaystyle{ \ln n < H_n < \ln n+1}\)
oraz:
\(\displaystyle{ H_n\approx \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}}\)
(błąd jest mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{120n^4}}\); \(\displaystyle{ \gamma}\) to stała Eulera, równa mniej więcej \(\displaystyle{ 0,5772156649...}\))
Q.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Suma liczb
Analitycznie, za pomocą funkcji digamma:Qń pisze:Wzoru jawnego nie ma
\(\displaystyle{ H_n=\gamma+\psi_0(n+1)}\)
przy tej samej stałej, co wymieniłeś. O funkcji \(\displaystyle{ \psi_0}\):
która jest bezpośrednio związana z uogólnieniem silni Eulera: funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\).
Przy czym zaznaczę, że są to funkcje specjalne i znajdowanie ich dokładnych wartości jest zadaniem tak samo trudnym jak przeliczenie sumy*. Tym niemniej taki wzór istnieje.
* - można wyliczyć poniższą całkę:
\(\displaystyle{ \psi_0(z)=\int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-z t}}{1-e^{-t}}\right)\mbox{d}t}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Suma liczb
To już zależy co rozumiemy przez wzór jawny - w tradycyjnym rozumieniu podany przez Ciebie raczej taki nie jest.JakimPL pisze:Tym niemniej taki wzór istnieje.
Q.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Suma liczb
Zgadza się; w niektórych ujęciach do zestawu tzw. well-known functions dołącza się, poza funkcjami elementarnymi, niektóre funkcje specjalne. Nie jest to kwestia ustandaryzowana i jednolita.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.