zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: matekleliczek »

Oblicz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) oraz\(\displaystyle{ abc=2}\)

ja zrobiłem tak
skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+c^2b+b^2c)+6abc}\)
\(\displaystyle{ a=-b-c}\)
\(\displaystyle{ (-b-c)bc=2}\)
\(\displaystyle{ bc^2+b^2c=-2}\)
no i podstawiałem i mi wyszło że równa się 6
oki??
greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: greey10 »

tak zgadza sie mi tez wyszlo 6.
jednak popracuj nad zapisem nie przyrownales do zera tak narpwde duzo zgadywania ;D ale dobrze
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: Tristan »

Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), więc \(\displaystyle{ a^3 +b^3 +c^3=0+3 \cdot 2=6}\).
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: bedbet »

Tristan pisze: 11 mar 2007, o 02:33 Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), więc \(\displaystyle{ a^3 +b^3 +c^3=0+3 \cdot 2=6}\).
Jeśli można to poprosiłbym o wyprowadzenie.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: Jan Kraszewski »

bedbet pisze: 18 sty 2022, o 01:53Jeśli można to poprosiłbym o wyprowadzenie.
Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: a4karo »

To ja może pokażę jak rozwiązać to zadanie bez znajomości tych skomplikowanych wzorów. Wszystko, czego potrzebuję, to wzór na sześcian sumy dwóch składników, oraz fakt, że `a=-(b+c)` - kolorem zaznaczę miejsca, gdzie z niego korzystam

\(\displaystyle{ 0= a^3-\red{a}^3=a^3+(b+c)^3=a^3+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3=a^3+b^3+c^3+3bc\red{(b+c)}=a^3+b^3+c^3-3abc}\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: bedbet »

Jan Kraszewski pisze: 18 sty 2022, o 02:01
bedbet pisze: 18 sty 2022, o 01:53Jeśli można to poprosiłbym o wyprowadzenie.
Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.

JK
Ja nie pytałem o uzasadnienie tylko o wyprowadzenie. Skąd wpaść na taki wzór?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: Jan Kraszewski »

bedbet pisze: 3 lut 2022, o 13:02Skąd wpaść na taki wzór?
Doświadczenie? Praktyka?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: a4karo »

Kombinuje się. Dlatego te wzory nazywają się wzorami kombinatorycznymi

NB czasami takie rzeczy widać przy zabawie klockami
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: Janusz Tracz »

bedbet pisze: 3 lut 2022, o 13:02
Jan Kraszewski pisze: 18 sty 2022, o 02:01
bedbet pisze: 18 sty 2022, o 01:53Jeśli można to poprosiłbym o wyprowadzenie.
Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.

JK
Ja nie pytałem o uzasadnienie tylko o wyprowadzenie. Skąd wpaść na taki wzór?
doświadczenia i praktyki jak wyżej oraz sztuczki w stylu: Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz}\) to wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\) z parametrami \(\displaystyle{ y,z}\). Jak ktoś bardzo długo się patrzył na wzory skróconego mnożenia to ma szanse zauważyć, że \(\displaystyle{ x=y+z}\) jest pierwiastkiem zatem ze szkolnych twierdzeń wynika, że \(\displaystyle{ (x+y+z)|W}\) lub \(\displaystyle{ W(x)=(x+y+z)P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) można wyznaczyć metodą mniej czy bardziej brutalną. Niektórzy patrzyli się też odpowiednio długo w wyznaczniki by zauważyć, że
Misha Lavrov z math stack exchange pisze:\begin{align}
\begin{vmatrix}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}a+c & a+b & b+c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Add row 2 to row 1)} \\
&= \begin{vmatrix}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ c& a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Add row 3 to row 1)} \\
&= (a+b+c) \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\c & a & b\\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Factor out $a+b+c$)} \\
&= (a+b+c) \left(\begin{vmatrix}a & b \\ c & a\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}c & b \\ b & a\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}c & a \\ b & c\end{vmatrix}\right) & \text{(Expand on $1^{\text{st}}$ row)} \\
&= (a+b+c)(a^2-bc - (ca-b^2) + c^2-ab) \\
&= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).
\end{align}
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3

Post autor: bedbet »

Dziękuję za te zmyślne konstrukcje jak i za genialną w swej prostocie od a4karo!
ODPOWIEDZ