zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
Oblicz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) oraz\(\displaystyle{ abc=2}\)
ja zrobiłem tak
skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+c^2b+b^2c)+6abc}\)
\(\displaystyle{ a=-b-c}\)
\(\displaystyle{ (-b-c)bc=2}\)
\(\displaystyle{ bc^2+b^2c=-2}\)
no i podstawiałem i mi wyszło że równa się 6
oki??
ja zrobiłem tak
skorzystałem ze wzoru
\(\displaystyle{ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+c^2b+b^2c)+6abc}\)
\(\displaystyle{ a=-b-c}\)
\(\displaystyle{ (-b-c)bc=2}\)
\(\displaystyle{ bc^2+b^2c=-2}\)
no i podstawiałem i mi wyszło że równa się 6
oki??
-
- Użytkownik
- Posty: 993
- Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
tak zgadza sie mi tez wyszlo 6.
jednak popracuj nad zapisem nie przyrownales do zera tak narpwde duzo zgadywania ;D ale dobrze
jednak popracuj nad zapisem nie przyrownales do zera tak narpwde duzo zgadywania ;D ale dobrze
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), więc \(\displaystyle{ a^3 +b^3 +c^3=0+3 \cdot 2=6}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
To ja może pokażę jak rozwiązać to zadanie bez znajomości tych skomplikowanych wzorów. Wszystko, czego potrzebuję, to wzór na sześcian sumy dwóch składników, oraz fakt, że `a=-(b+c)` - kolorem zaznaczę miejsca, gdzie z niego korzystam
\(\displaystyle{ 0= a^3-\red{a}^3=a^3+(b+c)^3=a^3+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3=a^3+b^3+c^3+3bc\red{(b+c)}=a^3+b^3+c^3-3abc}\)
\(\displaystyle{ 0= a^3-\red{a}^3=a^3+(b+c)^3=a^3+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3=a^3+b^3+c^3+3bc\red{(b+c)}=a^3+b^3+c^3-3abc}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
Ja nie pytałem o uzasadnienie tylko o wyprowadzenie. Skąd wpaść na taki wzór?Jan Kraszewski pisze: ↑18 sty 2022, o 02:01Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
Kombinuje się. Dlatego te wzory nazywają się wzorami kombinatorycznymi
NB czasami takie rzeczy widać przy zabawie klockami
NB czasami takie rzeczy widać przy zabawie klockami
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: zadanie typu a+b+c=0 i abc=2 to ile a^3+b^3+c^3
doświadczenia i praktyki jak wyżej oraz sztuczki w stylu: Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz}\) to wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\) z parametrami \(\displaystyle{ y,z}\). Jak ktoś bardzo długo się patrzył na wzory skróconego mnożenia to ma szanse zauważyć, że \(\displaystyle{ x=y+z}\) jest pierwiastkiem zatem ze szkolnych twierdzeń wynika, że \(\displaystyle{ (x+y+z)|W}\) lub \(\displaystyle{ W(x)=(x+y+z)P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) można wyznaczyć metodą mniej czy bardziej brutalną. Niektórzy patrzyli się też odpowiednio długo w wyznaczniki by zauważyć, żebedbet pisze: ↑3 lut 2022, o 13:02Ja nie pytałem o uzasadnienie tylko o wyprowadzenie. Skąd wpaść na taki wzór?Jan Kraszewski pisze: ↑18 sty 2022, o 02:01Ale czego? Jeśli chodzi Ci o \(\displaystyle{ x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz=(x+y+z)( x^2 +y^2 +z^2 -xy-yz-zx)}\), to po prostu wymnóż prawą stronę.
JK
Misha Lavrov z math stack exchange pisze:\begin{align}
\begin{vmatrix}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} &= \begin{vmatrix}a+c & a+b & b+c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Add row 2 to row 1)} \\
&= \begin{vmatrix}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ c& a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Add row 3 to row 1)} \\
&= (a+b+c) \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\c & a & b\\ b & c & a\end{vmatrix} & \text{(Factor out $a+b+c$)} \\
&= (a+b+c) \left(\begin{vmatrix}a & b \\ c & a\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}c & b \\ b & a\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}c & a \\ b & c\end{vmatrix}\right) & \text{(Expand on $1^{\text{st}}$ row)} \\
&= (a+b+c)(a^2-bc - (ca-b^2) + c^2-ab) \\
&= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).
\end{align}