wykaż że dla liczb..

[juti]

Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b \(\displaystyle{ (b\neq0\mbox{ i }a\neq0)}\) spełniona jest równość :

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{a+b}=\frac{a}{b}-\frac{a}{a+b}}\)

Znajdz trzy pary liczb, ktorych iloczyn jest rowny ich roznicy

[kamil13151]

Weź prawą stronę i do wspólnego mianownika.

Te pary możemy łatwo wyznaczyć:
Weźmy układ równań do rozwiązania dla \(\displaystyle{ t}\) wiadomego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=t \\ a-b=t \end{cases}}\)

Co nam daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{ \sqrt{t(t+4)}+t }{2} \\ b= \frac{ \sqrt{t(t+4)}-t }{2} \end{cases} \vee \begin{cases} a= \frac{ -\sqrt{t(t+4)}+t }{2} \\ b= \frac{ \sqrt{t(t+4)}+t }{2} \end{cases}}\)

Nawet trochę za daleko poleciałem:
\(\displaystyle{ ab=a-b \Leftrightarrow b= \frac{a}{a+1} \ \text{dla} \ a \neq -1}\)

Także: \(\displaystyle{ (a,b)=\left( a, \frac{a}{a+1} \right)}\).