Rozwiniecie dwumianu Newtona
: 29 sie 2011, o 20:51
Witam! Mam problem z rozwiązywaniem zadań typu "znajdź wyraz w rozwinięciu dwumianów".
Mianowicie chodzi wyszukiwanie wyrazów wymiernych. Oto dwa różne przykłady zadań.
Wyznacz wymierne wyrazy rozwinięcia.
a) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}\right) ^{24}}\)
b) \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{20}}\)
W tego typu zadaniach należy najpierw ustalić 'wzór' na poszczególne wyrazy rozwinięcia dwumianu a następnie dopasować liczbę 'k' aby potęgi wyrazów ze 'wzoru' utworzyły liczby wymierne. O ile w przypadku przykładu 'a' wygląda to tak :
\(\displaystyle{ U _{k+1}= {24 \choose k} \cdot \left( \sqrt{3} \right) ^{24-k} \cdot \left( \sqrt[3]{2} \right) ^{k} \cdot \left( -1 \right) ^{k} = {24 \choose k} \cdot 3 ^{ \frac{1}{2} \cdot \left( 24-k \right) } \cdot 2 ^{ \frac{1}{3} \cdot k } \cdot \left( -1 \right) ^{k} \in W \Leftrightarrow 2| \left( 24-k \right) \wedge 3|k \Leftrightarrow 6|k}\)
to w przypadku 'b' musimy jeszcze pomnozyc te wyrazy przez siebie. I oto moje pytanie. Dlaczego musimy to mnożyć zamiast zostawić tak jajk w przykładzie wyżej i rozpatrzyć dla obu wyrazów?
Mianowicie chodzi wyszukiwanie wyrazów wymiernych. Oto dwa różne przykłady zadań.
Wyznacz wymierne wyrazy rozwinięcia.
a) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}\right) ^{24}}\)
b) \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{20}}\)
W tego typu zadaniach należy najpierw ustalić 'wzór' na poszczególne wyrazy rozwinięcia dwumianu a następnie dopasować liczbę 'k' aby potęgi wyrazów ze 'wzoru' utworzyły liczby wymierne. O ile w przypadku przykładu 'a' wygląda to tak :
\(\displaystyle{ U _{k+1}= {24 \choose k} \cdot \left( \sqrt{3} \right) ^{24-k} \cdot \left( \sqrt[3]{2} \right) ^{k} \cdot \left( -1 \right) ^{k} = {24 \choose k} \cdot 3 ^{ \frac{1}{2} \cdot \left( 24-k \right) } \cdot 2 ^{ \frac{1}{3} \cdot k } \cdot \left( -1 \right) ^{k} \in W \Leftrightarrow 2| \left( 24-k \right) \wedge 3|k \Leftrightarrow 6|k}\)
to w przypadku 'b' musimy jeszcze pomnozyc te wyrazy przez siebie. I oto moje pytanie. Dlaczego musimy to mnożyć zamiast zostawić tak jajk w przykładzie wyżej i rozpatrzyć dla obu wyrazów?