0.999...=1
0.999...=1
Witam. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego tak się dzieje?
\(\displaystyle{ x=0.999...\\
10x=9.999...\\
10x-x=9.999... - 0.999...\\
9x=9\\
x=1}\)
\(\displaystyle{ x=0.999...\\
10x=9.999...\\
10x-x=9.999... - 0.999...\\
9x=9\\
x=1}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2011, o 17:28 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
0.999...=1
Dzieje się tak z tego samego powodu, co \(\displaystyle{ 2=2}\), po prostu równość \(\displaystyle{ 1 = 0,(9)}\) jest prawdziwa.
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
0.999...=1
Ten temat był już nieraz poruszany na forum. Ścisłe uzasadnienie już sobie podałeś. Inne ścisłe uzasadnienie może być takie:
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_1=0,9}\), \(\displaystyle{ q=0,1}\)
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)= \frac{a_1}{1-q}= \frac{0,9}{1-0,1}=1}\)
-- 22 lipca 2011, 15:26 --
Jeśli chodzi o to, że kłóci się to z twoją intuicją, uzasadnienie intuicyjne może być takie:
W zapisie każdej liczby wymiernej typu \(\displaystyle{ 0,9999999999}\), mamy skończoną ilość dziewiątek, więc liczba ta jest skończenie bliska 1. Natomiast w zapisie liczbie \(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) mamy nieskończoną ilość dziewiątek, co powoduje, że liczba ta jest nieskończenie bliska 1, czyli po prostu "staje się" jedynką.
-- 22 lipca 2011, 15:28 --
Zastanów się nad różnicą \(\displaystyle{ 1-0,\left( 9\right)}\). W przypadku liczb ze skończoną ilością dziewiątek w zapisie, jesteśmy w stanie bardzo dokładnie określić taką różnicę. A ile miałaby wynosić w tym przypadku?
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_1=0,9}\), \(\displaystyle{ q=0,1}\)
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)= \frac{a_1}{1-q}= \frac{0,9}{1-0,1}=1}\)
-- 22 lipca 2011, 15:26 --
Jeśli chodzi o to, że kłóci się to z twoją intuicją, uzasadnienie intuicyjne może być takie:
W zapisie każdej liczby wymiernej typu \(\displaystyle{ 0,9999999999}\), mamy skończoną ilość dziewiątek, więc liczba ta jest skończenie bliska 1. Natomiast w zapisie liczbie \(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) mamy nieskończoną ilość dziewiątek, co powoduje, że liczba ta jest nieskończenie bliska 1, czyli po prostu "staje się" jedynką.
-- 22 lipca 2011, 15:28 --
Zastanów się nad różnicą \(\displaystyle{ 1-0,\left( 9\right)}\). W przypadku liczb ze skończoną ilością dziewiątek w zapisie, jesteśmy w stanie bardzo dokładnie określić taką różnicę. A ile miałaby wynosić w tym przypadku?
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
0.999...=1
To jest dokładnie to samo.Majeskas pisze:
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_1=0,9}\), \(\displaystyle{ q=0,1}\)
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)= \frac{a_1}{1-q}= \frac{0,9}{1-0,1}=1}\)
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
0.999...=1
Czy moje rozumowanie jest dobre ? :
Zakładam , że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,(9)}\)są różne.
Aczkolwiek\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x , y\in R ; x \neq y} \bigvee\limits_c x>c>y \vee y>c>x}\)
Sprzeczkość , w tym przypadku nie znajdziemy takiego "c"
-
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
0.999...=1
Faktycznie krótszy zapis i chyba o to chodzi... aczkolwiek przed tym trzeba napisać , że \(\displaystyle{ x \neq y}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
0.999...=1
Przecież ten dowód jest błędny. Dla każdych różnych liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ x>y}\)) znajdziemy takie \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ x>c>y}\). Taką liczbą jest \(\displaystyle{ c=\frac{x+y}{2}}\). I wobec tego niczego nie dowiodłeś.czekoladowy pisze:Czy moje rozumowanie jest dobre ? :Zakładam , że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,(9)}\)są różne.
Aczkolwiek\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x , y\in R ; x \neq y} \bigvee\limits_c x>c>y \vee y>c>x}\)
Sprzeczkość , w tym przypadku nie znajdziemy takiego "c"
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
0.999...=1
To, że nie potrafisz czegoś wskazać, nie znaczy, że to nie istnieje. Co więcej, brak możliwości wskazania czegoś też nie implikuje nieistnienia - na przykład dla wielu wielomianów stopnia piątego nie da się wskazać pierwiastków. Pomimo tego, jednak je one mają.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
0.999...=1
Majeskas przypatrz się dobrze rozwiązaniu czekoladowy, zakłada on, że \(\displaystyle{ 0,(9) \neq 1}\) wobec czego istnieje takie c, że \(\displaystyle{ 0,(9) < c < 1}\), o czym wcześniej napisał Marcinek665 (udowodnić?) i z tego żadna sprzeczność nie wynika. Oczywiście nie da się wskazać danego ,,c" spełniającego dane nierówności, jednak to wynika z tego, że \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) co można udowodnić w inny sposób.