Oblicz wiedząc, że
Oblicz wiedząc, że
Oblicz \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{ x^{2} }}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ x^{3}+ \frac{1}{ x^{3} }=110}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Oblicz wiedząc, że
Pomnóż przez \(\displaystyle{ x^3}\) i zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=x^3}\).
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wiedząc, że
Albo zauważ, że:
\(\displaystyle{ 110 = x^3+\frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right)}\)
Podstawiając teraz \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\) mamy:
\(\displaystyle{ t^3-3t-110 = 0}\)
Skąd łatwo dostajemy, że jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=5}\) wtedy:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 = 23}\)
\(\displaystyle{ 110 = x^3+\frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right)}\)
Podstawiając teraz \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\) mamy:
\(\displaystyle{ t^3-3t-110 = 0}\)
Skąd łatwo dostajemy, że jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=5}\) wtedy:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 = 23}\)
Ostatnio zmieniony 19 lip 2011, o 21:35 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: rozmiar nawiasów
Powód: rozmiar nawiasów
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wiedząc, że
Ale czego dokładnie ? 1 linijka wynika ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\) dalej mamy zwykły wielomian, w którym zauważyłem, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ t=5}\) po podzieleniu przez \(\displaystyle{ t-5}\) otrzymasz trójmian w którym parabola będzie ponad osią OX, stąd jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \(\displaystyle{ t=5}\) dalej znowu wzory skróconego mnożenia.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wiedząc, że
Korzystamy z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, albo grupujemy:
\(\displaystyle{ t^3-3t-110=0 \Leftrightarrow t^3-5t^2+5t^2-25t+22t-110 = 0 \Leftrightarrow t^2(t-5)+5t(t-5)+22(t-5) = 0 \Leftrightarrow (t-5)(t^2+5t+22)=0 \Leftrightarrow t=5}\)
\(\displaystyle{ t^3-3t-110=0 \Leftrightarrow t^3-5t^2+5t^2-25t+22t-110 = 0 \Leftrightarrow t^2(t-5)+5t(t-5)+22(t-5) = 0 \Leftrightarrow (t-5)(t^2+5t+22)=0 \Leftrightarrow t=5}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wiedząc, że
Wyciągnąłem \(\displaystyle{ (t-5)}\) przed nawias, zauważ, że \(\displaystyle{ ax+ay+az = a(x+y+z)}\), wspólny czynnik można wyciągać przed nawias.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Oblicz wiedząc, że
Iloczyn 2 czynników będzie równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy 0, drugi czynnik będzie zawsze dodatni, więc dana równość zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy z nich będzie równy 0, skąd \(\displaystyle{ t-5 = 0 \Leftrightarrow t=5}\)