Matematyka.pl

1. Oblicz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{99 \cdot 100}}\)

Zauważyłem tu, że rozpisując to w formie\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}( \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} )+...}\) od od 4 czynnika dodawania w liczniku jest zawsze \(\displaystyle{ 1}\), a mianownik to NWD liczb sąsiadujących z liczbą nieparzystą, lecz dalej nie wiem co z tym mam zrobić.
2. Jeśli \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\) to udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{b+c} + \frac{ b^{2} }{c+a} + \frac{ c^{2} }{a+b}=0}\)
3. Udowodnij że \(\displaystyle{ x ^{n}-y ^{n}}\)jest podzielne przez \(\displaystyle{ x-y}\)

Z góry dziękuję za udzieloną pomoc.

ad. 1
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}\)-- 7 lipca 2011, 14:09 --ad. 3
\(\displaystyle{ x^{n} - y^{n} = x^{n} - x^{n-1} \cdot y + x^{n-1} \cdot y - x^{n-2} \cdot y^{2} +x^{n-2} \cdot y^{2}- ... -x \cdot y^{n-1} +x \cdot y^{n-1}- y^{n}= x^{n-1} \left (x-y \right ) + x^{n-2} \cdot y \left ( x-y \right ) + ... +x \cdot y^{n-2} \left ( x-y \right ) + y^{n-1} \left ( x-y \right )}\)

2.

\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}-1=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^3 + abc + b^3 + c^3}{(a + b)(a + c)(b + c)} =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{b+c} + \frac{ b^{2} }{c+a} + \frac{ c^{2} }{a+b}= \frac{(a + b + c)(a^3 + abc + b^3 + c^3)}{(a + b)(a + c)(b + c)} =(a+b+c) \cdot 0=0}\)

Piszę nadal w tym temacie by nie śmiecić:
4. Oblicz \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+...+\frac{1}{97 \cdot 100}}\)
Nie umiem jakoś wyprowadzić wzoru ogólnego na 1 wyraz. jak w zad 1.
5. Oblicz \(\displaystyle{ (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})...(1-\frac{1}{2009^{2}})}\)

4) \(\displaystyle{ \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n+1)}-\frac{1}{3n+4})}\)

5) Możesz policzyć wartość dla kilku początkowych n i zauważyć (udowodnij), że

\(\displaystyle{ (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})...(1-\frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}}\)

5. Można też wyjść od lewej, zastosować \(\displaystyle{ n}\) razy wzór na różnicę kwadratów i spostrzec jak ładnie się wszystko skraca.