Matematyka.pl

Kompletnie nie wiem jak to ruszyć:
\(\displaystyle{ \hbox{Wykaż, że jeśli }\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}} =...= \frac{a_{n}}{b_{n}}\hbox{ i } b_{1}+b_{2}+...+b_{n} \neq 0 \\\hbox{ to } \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}= \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Skorzystaj z wzoru na sume ciagu arytmetycznego.

Zimnx pisze:Skorzystaj z wzoru na sume ciagu arytmetycznego.

A gdzie tu jest ciąg arytmetyczny?

Co do zadania - wskazówka: oznacz \(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1}=\ldots = \frac{a_n}{b_n}=t}\), skąd wiadomo, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ a_k=tb_k}\). Wystarczy teraz to podstawić do lewej strony równości, której mamy dowieść.

Q.

248263.htm

Qń pisze:A gdzie tu jest ciąg arytmetyczny?

Mamy doczynienia z ciagiem arytmetycznym o roznicy rownej 0.

wikipedia pisze:Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.

/edit

Faktycznie blef, wstyd.
przepraszam

Zimnx, no i jak to wykorzystać?

Pierwsza mysl jaka mi przyszla ze \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=...=a_n}\) i analogicznie \(\displaystyle{ b_1=...=b_n}\). Wtedy dwa razy na sume ciagu i wychodzi.

Zimnx, gdyby tak było, to w liczniku mamy \(\displaystyle{ n \cdot a_1}\), a w mianowniku \(\displaystyle{ n \cdot b_1}\) i \(\displaystyle{ n}\) się skraca, po czym dostajemy wiadomo co... Poza tym, to skąd wytrzasnąłeś \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=...=a_n}\) i \(\displaystyle{ b_1=b_2=b_3=...=b_n}\)?

Wiem ze blef, napisalem juz to w poprzednim poscie. Dluzszy odpoczynek od matmy robi swoje.

Musiałem chwilkę się zastanowić, by zrobić to zadanie, więc zdecydowałem się pójść inną, bardziej schematyczną drogą. Indukcja po \(\displaystyle{ n}\):

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Więc mamy założenie. Dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+...+a_k}{b_1+b_2+...+b_k} = \frac{a_1}{b_1}}\)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_k = X}\), \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_k = Y}\). Wtedy założenie przyjmuje postać: \(\displaystyle{ \frac{X}{Y} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Przejdźmy z \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ k+1}\). Wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{X + a_{k+1}}{Y + b_{k+1}} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Wymnóżmy na krzyż:

\(\displaystyle{ b_{1}X + b_{1}a_{k+1} = a_{1}Y + a_{1}b_{k+1}}\).

Co wobec założeń zadania i założenia indukcyjnego jest prawdą, co kończy dowód indukcyjny.