uprościć wzór:
\(\displaystyle{ \frac{1- \frac{1}{ 2^{3} } }{1+ \frac{1}{ 2^{3} } } \cdot \frac{1- \frac{1}{ 3^{3} } }{1+ \frac{1}{ 3^{3} } } \cdot\ldots\cdot \frac{1- \frac{1}{ n^{3} } }{1+ \frac{1}{ n^{3} } }}\)
konkursowe-uprościć wzór
-
matmi
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
konkursowe-uprościć wzór
Gdy w każdym z ułamków licznik i mianownik sprowadzimy do wspólnego mianownika, to po uproszczeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdot\ldots\cdot \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}}\)
Następnie korzystamy ze wzorów:
\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-1)(2^2+2+1)}{(2+1)(2^2-2+1)} \cdot \frac{(3-1)(3^2+3+1)}{(3+1)(3^2-3+1)} \cdot\ldots\cdot \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}}\)
Zauważmy, że: \(\displaystyle{ (n-1)^2+(n-1)+1=n^2-n+1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)
Skoro mamy tu iloczyn ułamków możemy skracać całe nawiasy.
Ostatecznie wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}+\frac{2}{3n^2+3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdot\ldots\cdot \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}}\)
Następnie korzystamy ze wzorów:
\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-1)(2^2+2+1)}{(2+1)(2^2-2+1)} \cdot \frac{(3-1)(3^2+3+1)}{(3+1)(3^2-3+1)} \cdot\ldots\cdot \frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}}\)
Zauważmy, że: \(\displaystyle{ (n-1)^2+(n-1)+1=n^2-n+1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)
Skoro mamy tu iloczyn ułamków możemy skracać całe nawiasy.
Ostatecznie wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}+\frac{2}{3n^2+3n}}\)