Oblicz \(\displaystyle{ T^{2}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ T=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}\)
Proszę o rozwiązanie powyższego zadania wraz z wytłumaczeniem. Z góry dziękuje i pozdrawiam.
Trudny dowodzik z pierwiastkami
-
michal1989as
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 28 wrz 2006, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jedlicze
- Podziękował: 2 razy
Trudny dowodzik z pierwiastkami
Ostatnio zmieniony 12 gru 2006, o 21:01 przez michal1989as, łącznie zmieniany 1 raz.
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Trudny dowodzik z pierwiastkami
Nie ten dział, nie ten temat, używaj LaTeX-a...
Zauważ, że \(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}\)
Podstawiając: \(\displaystyle{ t = 2 + \sqrt{3}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ T = \frac{t}{\sqrt{2} + t} + \frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{2} - \frac{1}{t}} = \frac{t(\sqrt{2} - \frac{1}{t}) + \frac{1}{t}(\sqrt{2} + t)}{(\sqrt{2} + t)(\sqrt{2} - \frac{1}{t})} = \frac{\sqrt{2}(t + \frac{1}{t})}{1 + \sqrt{2}(t - \frac{1}{t})}}\).
Wstawiamy
\(\displaystyle{ 2 + \sqrt{3} = t}\)
\(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{t}}\)
otrzymując:
\(\displaystyle{ T = \frac{4\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ T^{2} = \frac{32}{25 + 4\sqrt{6}}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}\)
Podstawiając: \(\displaystyle{ t = 2 + \sqrt{3}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ T = \frac{t}{\sqrt{2} + t} + \frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{2} - \frac{1}{t}} = \frac{t(\sqrt{2} - \frac{1}{t}) + \frac{1}{t}(\sqrt{2} + t)}{(\sqrt{2} + t)(\sqrt{2} - \frac{1}{t})} = \frac{\sqrt{2}(t + \frac{1}{t})}{1 + \sqrt{2}(t - \frac{1}{t})}}\).
Wstawiamy
\(\displaystyle{ 2 + \sqrt{3} = t}\)
\(\displaystyle{ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{t}}\)
otrzymując:
\(\displaystyle{ T = \frac{4\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ T^{2} = \frac{32}{25 + 4\sqrt{6}}}\)