Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a>b>c}\), to \(\displaystyle{ a^{2} b+ b^{2} c+ c^{2} a> a^{2} c+ c^{2} b+ b^{2} a}\).
-- 5 paź 2010, o 18:14 --
Może ktoś wie jak się za to zabrać?
Nierówność dla trzyelementowego ciągu rosnącego - dowód.
-
nowheredense_man
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 26 razy
Nierówność dla trzyelementowego ciągu rosnącego - dowód.
w przypadku \(\displaystyle{ a>b>c>0}\) dana nierówność jest równoważna nierówności:
\(\displaystyle{ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)>0}\), wyjdę więc od lewej strony, korzystając z \(\displaystyle{ a>b>c>0}\), otrzymam kolejno:
\(\displaystyle{ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)>a^2(b-c)+c^2(c-a+a-b)=a^2(b-c)-c^2(b-c)>0}\)
jeśli \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0 \vee c=0}\) nierówność jest oczywista,
pozostają przypadki: \(\displaystyle{ a>b>0>c}\), \(\displaystyle{ a>0>b>c}\) i \(\displaystyle{ 0>a>b>c}\), myślę, że jakoś podobnie pójdą jak przypadek \(\displaystyle{ a>b>c>0}\). Np. dla \(\displaystyle{ a>b>0>c}\) oznaczę sobie: \(\displaystyle{ c=-c',\ c'>0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ a^2(b+c')-b^2(c'+a)+c'^2(a-b)=ab(a-b)+c'(a^2-b^2)+c'^2(a-b)>0}\)
itd.
być może można prościej, załatwiając wszystkie przypadki od razu.
\(\displaystyle{ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)>0}\), wyjdę więc od lewej strony, korzystając z \(\displaystyle{ a>b>c>0}\), otrzymam kolejno:
\(\displaystyle{ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)>a^2(b-c)+c^2(c-a+a-b)=a^2(b-c)-c^2(b-c)>0}\)
jeśli \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0 \vee c=0}\) nierówność jest oczywista,
pozostają przypadki: \(\displaystyle{ a>b>0>c}\), \(\displaystyle{ a>0>b>c}\) i \(\displaystyle{ 0>a>b>c}\), myślę, że jakoś podobnie pójdą jak przypadek \(\displaystyle{ a>b>c>0}\). Np. dla \(\displaystyle{ a>b>0>c}\) oznaczę sobie: \(\displaystyle{ c=-c',\ c'>0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ a^2(b+c')-b^2(c'+a)+c'^2(a-b)=ab(a-b)+c'(a^2-b^2)+c'^2(a-b)>0}\)
itd.
być może można prościej, załatwiając wszystkie przypadki od razu.