Przekształcenia z pierwiastkami

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: myszka666 »

Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2} +7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7} =2}\)
Ostatnio zmieniony 3 paź 2010, o 20:43 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: sea_of_tears »

\(\displaystyle{ (\sqrt2+1)^3 = (\sqrt2)^3+3(\sqrt2)^2+3\sqrt2+1=2\sqrt2+6+3\sqrt2+1=5\sqrt2+7\newline
\newline
\sqrt[3]{5\sqrt2+7} - \sqrt[3]{5\sqrt2-7}=
\sqrt[3]{(\sqrt2+1)^3} - \sqrt[3]{(\sqrt2-1)^3}=
(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=\sqrt2+1-\sqrt2+1=2}\)
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: Vax »

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = x /^3}\)

\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7 -3\sqrt[3]{1}x = x^3}\)

\(\displaystyle{ 14-3x=x^3}\)

\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0}\)

Widzimy, że jednym z pierwiastków jest 2, więc zgodnie z twierdzeniem Bezout'a dzieli się ono bez reszty przez \(\displaystyle{ x-2}\)

\(\displaystyle{ x^3+3x-14 = (x-2)(x^2+2x+7)}\)

W 2 nawiasie delta jest mniejsza od 0, więc jedynym rzeczywistym pierwiastkiem jest 2, CND.

Pozdrawiam.
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: myszka666 »

sea_of_tears pisze:\(\displaystyle{ (\sqrt2+1)^3 = (\sqrt2)^3+3(\sqrt2)^2+3\sqrt2+1=2\sqrt2+6+3\sqrt2+1=5\sqrt2+7}\)
dzięki, a da się jakoś od końca do tego dojść?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: Vax »

Co do sposobu @sea_of_tears, to po prostu zauważamy, że \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7 = (\sqrt{2}+1)^3}\) i obliczamy, jednak przy trudniejszych przykładach, gdzie ciężej jest zauważyć dany wzór, lepiej się posługiwać sposobem podanym przeze mnie

Pozdrawiam.
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: myszka666 »

aha, u Ciebie nie bardzo rozumię drugą linijkę, czemu tam jest \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{1} x}\)?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: Vax »

To wynika ze wzoru:

\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}\)

\(\displaystyle{ a^3}\) oraz \(\displaystyle{ -b^3}\) usuwają nam pierwiastek 3 stopnia, z a i b, a z pozostałymi 2 wyrazami robimy tak:

\(\displaystyle{ -3a^2b+3ab^2 = -3ab(a-b)}\)

i dodatkowo zauważamy, że a-b oznaczyliśmy jako x, tak więc zamiast nawiasu wstawiamy x, jeżeli wymnożysz \(\displaystyle{ -3 \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) i skorzystasz ze wzoru skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ (a+b)(a-b) = a^2-b^2}\) pod pierwiastkiem, to otrzymasz to co napisałem, czyli \(\displaystyle{ -3\sqrt[3]{1}x}\)

Pozdrawiam.
myszka666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pkr
Podziękował: 35 razy

Przekształcenia z pierwiastkami

Post autor: myszka666 »

dzięki
ODPOWIEDZ